Conjuntos

. Definición: Una vecindad Vr (x) de un punto x ∈ IRn es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia de x estrictamente menor o igual a r. Definición: Un punto x es un punto interior deun conjunto A si existe una vecindad V de x tal que V está totalmente contenido en A (V ⊂ A). Definición: El conjunto de todos los puntos interiores de un conjunto A es el interior de A. Definición: Unconjunto A es un conjunto abierto si todos los puntos de A son puntos interiores de A. Teorema 1: La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Teorema 2: La intersección finita de conjuntosabiertos es un conjunto abierto. Definición: El complemento de un conjunto A (denotado por Ac ) es el conjunto de todos los puntos de IRn que no pertenecen al conjunto A. Definición: Un conjunto A es unconjunto cerrado si su complemento Ac es un conjunto abierto. Teorema 3: La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado1 . Teorema 4: La intersección de conjuntos cerrados es un conjuntocerrado. Definición: El punto x es un punto frontera del conjunto A si todas las vecindades/bolas que contienen al punto x contienen tanto puntos del conjunto A como puntos del complemento de A.Definición: La frontera de A es el conjunto de todos los puntos frontera de A. Nota: No siempre toda la frontera de A pertenece o no pertenece a A. Teorema 5: La frontera de un conjunto cerrado está totalmentecontenida en el conjunto. Definición: Un conjunto es un conjunto acotado si existe alguna bola abierta de radio finito que lo contenga. Definición Un conjunto es un conjunto compacto si es cerrado yacotado. Teorema 6: La unión finita de conjuntos compactos es un conjunto compacto.
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Para demostrar esto primero se demuestra que (A ∩ B)c = Ac ∪ B c y (A ∪ B)c = Ac ∩ B c

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Teorema 7: Laintersección de conjuntos compactos es un conjunto compacto. Definición Un conjunto X es un conjunto convexo si y solo si para todo par de puntos de X, el segmento que los une está contenido en X, es...