Conservacion de la energia

PRINCIPIOS DE CONSERVACION

1.1 TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS.


El teorema del transporte de Reynolds es una expresión matemática muy útil que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes usos en la mecánica de medios continuos. En su aplicación a este campo, relaciona cómo varian las propiedades de una masa de control con cómo varían las propiedades de un volumen de control.Masa de control
Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa de agua de otra en medio del océano).

Volumen de control
Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas decontrol pueden atravesar un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede variar con el tiempo.

En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en un dominio móvil (el de lamasa de control) y un dominio fijo (el del volumen de control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, en el concepto de la masa de control por su cómodainterpretación física.






Teorema del transporte de Reynolds

Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijo V que en el preciso instante t coincide con el volumen Vm(t) ocupado por la masa de control: 
V = Vm(t). 
La frontera del volumen de control es la superficie S.
Podemos integrar las variables intensivas c(t,x) en este volumen para obtener las variablesextensivas Cv(t) correspondientes: 
Cv(t) = ∫∫∫V c(t,x) dV.
Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t+dt, los dos volúmenes no tienen por qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos.
Cada punto x de lafrontera de la masa de control se desplaza a una velocidadv(t,x). La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera del volumen de control es el vector unitario n(x). Por lo tanto, la velocidad normal vn(x) a la que se separa la frontera de la masa de control de la del volumen de control es 
vn(t,x) = v(t,x) ⋅ n(x). 
La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando laanterior expresión es negativa y sale cuando es positiva.
[pic] 
Velocidad normal a la frontera.
Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control, mientras que otra parte entra. Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control. Definamos un elemento diferencial de superficie de frontera dS alrededor de este punto. Como el incremento de tiempo dt es extremadamentepequeño, podemos despreciar cualquier variación de la velocidad v(t,x) a la que se desplaza la frontera de la masa de control entre el instante t y el instante t+dt. En este tiempo, habrá entrado dentro del volumen de control una pequeña cantidad de material de volumen −vn(x) dt dS. 
El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es negativa, el material entra, mientras que, si la velocidadrelativa es positiva, el material sale. Esta pequeña cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de propiedades físicas: 
−vn(x) dt dS c(t,x). 
La suma (la integral) de esta contribución por toda la superficie de la frontera del volumen de control será igual a la cantidad de las variables extensivas que habrá entrado menos la que habrá entrado en el volumen...