Constante De Movimiento, Lagrangiano Y Hamiltoniano De Una Partícula Relativista Con Disipación Cuadrática

Constante de Movimiento, Lagrangiano y Hamiltoniano de una part´cula
ı
´
´
relativista con disipacion cuadratica
Gustavo V. L´ pez, Gustavo C. Montes
o
†
F´sica
ı

Universidad de Guadalajara, Departamento de
email: gulopez@cencar.udg.mx, bboyfone1@hotmail.com
Introducci´ n
o
Se sabe que para algunos sistemas cl´ sicos tanto disipativos
a
como no disipativos los formalismosLagrangiano y Hamiltoniano suelen tener algunos problemas [1, 2, 10, 5, 6], por
ejemplo, la obtenci´ n de m´ s de un Hamiltoniano difereno
a
te para el mismo sistema [8]. Otro problema consiste en
que para un sistema disipativo, como el de una part´cula reı
lativista dentro de un medio dispativamente cuadr´ tico las
a
trayectorias de la part´cula observadas en el espacio fase
ı
(construidas apartir del Hamiltoniano) tienen comportamientos extra˜ os e inusuales [9]. En este trabajo se considen
ra una part´cula relativista unidimensional (1-D) dentro de
ı
un medio el cual se caracteriza por proporcionar una fuerza resistente proporcional al cuadrado de la velocidad de
la part´cula. Para este sistema se deduce una Constante de
ı
Movimiento, un Lagrangiano y Hamiltonianoconsistentemente. La din´ mica del sistema se observa tanto en el esa
pacio de configuraciones como en el espacio fase, aqu´ se
ı
muestra como las trayectorias de la part´cula en el espaı
cio de configuraciones (obtenidas a partir de la Constante de movimiento) tienen el comportamiento esperado, las
trayectorias de la part´cula en el espacio fase (obtenidas a
ı
partir del Hamiltoniano) tienencomportamientos extra˜ os
n
y contra-intuitivos.

Constante de Movimiento, Lagrangiano y Hamiltoniano
La ecuaci´ n de movimiento que describe a una part´cula
o
ı
relativista dentro de un medio caracterizado por producir
una fuerza proporcional al cuadrado de la velocidad de la
part´cula, est´ dada por
ı
a
d
˙
˙
(mγ x) = −αx2,
dt

(1)

donde m es la masa en reposo, α es la constante dedisipaci´ n, x = dx/dt y γ = 1/ 1 − v 2/c2.
o˙
˙
Para considerar un sistema disipativo se requiere que x ≥ 0,
de lo contrario el sistema es anti-disipativo. se puede expresar (1) como un sistema din´ mico, utilizando el siguiente
a
cambio de variables
˙
x = v,

(2a)

αv 2
˙
v=−
(1 − v 2/c2)3/2,
m

(2b)

El momento lineal generalizado definido como p = ∂L/∂v ,
est´ dado por
a
p= mc

2v 2/c2 − 1
v/c 1 − v 2/c2

.

(8)

Para determinar el Hamiltoniano del sistema se utiliza la
relaci´ n conocida como Transformaci´ n de Legendre H =
o
o
vp − L. Resolviendo (8) para v/c se obtiene
v
c
v
c

2
+
2
−

11
=+
22
11
=−
22

|p|
p2 + 4m2c2
|p|

,

p2 + 4m2c2

,

1
v
si √ ≤ < 1, (9a)
2c
1
v
si 0 < ≤ √ . (9b)
c
2

sustituyendo estascantidades en la transformaci´ n de Leo
gendre, se obtiene que el Hamiltoniano del sistema est´ daa
do por
√
2mc2
+
Hα = αc2x +
1/2
√ 2 |p| 2 2
1−
p +4m c


1/2 



 1 + √ 1 − √ |p|

1




2
p2+4m2c2
(10a)
−mc2 ln
1/2 

1

 √ 1 + √ |p|

2



p2+4m2c2
√
2mc2
−
Hα = αc2x +
1/2
√ 2 |p| 2 2
1+
p +4m c


1/2 



 1 + √ 1+ √ |p|

1




2
p2+4m2c2
(10b)
−mc2 ln
1/2 

1

 √ 1 − √ |p|





2
22
2

p +4m c

Dadas las siguientes condiciones iniciales x = 0, m = 1 y
v/c = 0,99 y utilizando (5) se determinan las trayectorias
de la part´cula en el espacio de configuraciones. Utilizando
ı
las mismas condiciones iniciales y el Hamiltoniano (10a)
se determinan las trayectorias dela part´cula en el espacio
ı
fase. En la Fig.1, se muestran estas trayectorias para el ran1
go de velocidades de √2 ≤ v < 1, en ambos espacios se
c
observa el comportamiento esperado.

1 − v 2/c2

− ln

Kα = αc2x +

1 − v 2/c2

− mc2 ln

Figure 3: Comparaci´ n entre el momento lineal generalizado disipativo y
o

Dado un sistema disipativo el cual consiste en una part´cula
ı...