Construcción de raíces cuadradas con números irracionales

Construcción de raíces cuadradas con números irracionales :
1° En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresadocomo una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.
Sabiendo esto podemos decir que las raíces cuadradas de los números enteros que no soncuadrados perfectos son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entera o irracional.Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir laraíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.
Si fuera racional se debería poder expresar como con p, q enteros y primos entre sí.Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que, lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto p2 como q2 seexpresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.
Por ejemplo:
Raíz cuadrada de 2
Quizás la raíz cuadrada más útil es , también conocida como constante pitagórica,que es geométricamente la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden la unidad (ver imagen), pudiéndose demostrar mediante el teorema de Pitágoras:

Probablemente laraíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623
Raíz cuadrada de 3
La raíz cuadrada de 3: , tambiénconocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema de Pitágoras....