Construcción Civil

Resolución de problemas de máximos y mínimos:

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:
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Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario. Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problemay escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar) Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función. Obtener la primera derivada de esta función paradeterminar los valores críticos. Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos. Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuaciónse especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

Círculo de radio r con centro en Ecuación: Circunferencia: Área:

Sector circular; Área: donde es el ángulo central medio en radianes. Área: donde s es la longitud del arco AB

Trapecio

Área: , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.

4.Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Área lateral: Área total:

Ver en ambiente 3D

Cono circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Superficie

lateral:

. L donde L es

la

generatriz

está

dada

por:

Esfera de radio r. Volumen: Superficie:

Ver en ambiente 3D

Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyoproducto tenga el mayor valor posible. Solución: Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.

Sean Luego

estos

números:

x,

y

Como la suma de esos números es 10, entonces auxiliar, Entonces: de

es la ecuación donde .

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función Derivando: Valores En un críticos: se tiene un valor crítico, y se debe estudiarsi es un valor mínimo o valor máximo. entonces por lo que en se tiene un valor

Como máximo.

Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

3.- Un recipiente metalico sin tapa con extremos semicircular debe tener una capacidad de 128π ft3, determine su medio y su longitud si se requiere que el recipiente tenga la menor cantidad dematerial en su construccion-

Volumen de medio cilindro: V = π·r²·h/2 Area de medio cilindro (una tapa) A = Área tapa + Área lateral circular + Área plana = π·r²/2 + h·2·π·r/2 + 2·r·h = π·r²/2 + h·π·r + 2·r·h Cambiamos h por: h = 2·V/(π·r²) A = π·r²/2 + h·π·r + 2·r·h = π·r²/2 + 2·V·π·r/(π·r²) + 2·r·2·V/(π·r²)= π·r²/2 + 2·V/r + 4·V/(π·r) = = π·r²/2 + (1/r)·(2·V + 4·V/π) A' = π·r - (2·V +4·V/π)·(1/r²) = 0 Multiplicamos por r²: π·r³ - 2·V + 4·V/π = 0 r³ = 2·V/π - 4·V/π² = (2·V/π)·(1 - 2/π) r = ³√(2·V/π)·(1 - 2/π) Se sustituye 'r' en h = 2·V/(π·r²) y tenemos la altura.

Halla las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de 10 cm de radio. Solución:

Datos: Radio de la esfera: CD = R = 10 cm Radio del cilindro: BD = r Altura del cilindro: AB = hVolumen del cilindro: V = AB (área de la base)·h (altura)

V = π r2 h

En la expresión del volumen tenemos dos incógnitas, luego debemos hallar otra ecuación. Por el teorema de Pitágoras: (CB)2 + r2 = R2 Pero: CB = h/2, por tanto: (h/2)2 + r2 = R2 → r2 = R2 – (h/2)2 = 102 – (h2/4) Sustituyendo el valor de r2 en la ecuación del volumen, tenemos: V = π [100 – (h2/4)] h = 100 π h – (1/4) π h3...