Consumidor

Taller 3

Ejercicios resueltos
Ejercicio 1

Supongamos que el precio de venta se basa en la ecuaci´n de demanda
o
p = 100 − 9 q
y que los costes totales son de la forma C(q) = 3 q + 200.(a). Determina la zona de ganancias y la zona de p´rdidas.
e
(b). Calcula, si existe, el umbral de ganancias.
(c). Determina, si existe, la cantidad q para la que se obtienen los m´ximos beneficios.
aResoluci´n
o
(a). Los ingresos totales son I = p · q = (100 − 9 q) · q = 100 q − 9 q 2 , y por tanto la utilidad es
B(q) = 100 q − 9 q 2 − 3 q + 200 = −9 q 2 + 97 q − 200
Para estudiar susigno usamos el algoritmo basado en el teorema de Bolzano:
(1) No hay puntos de discontinuidad en [0, +∞).
(2) Sus ra´
ıces son las soluciones de la ecuaci´n
o
−9 q 2 + 97 q − 200 = 0
Resolvemosesta ecuaci´n polin´mica de segundo grado:
o
o
√
−97 ± 972 − 4 · (−9) · (−200)
−97 ± 9409 − 7200
−97 ± 47
x=
=
=
2 · (−9)
−18
−18
Operando obtenemos dos ra´
ıces positivas: x = 8 y x =25
9

≈ 2.7778.

(3) Representamos la semirrecta [0, +∞) y en ella las ra´
ıces que hemos calculado.
0

+∞

8

25
9

(4) Tomamos un punto de muestra de cada intervalo y calculamos elsigno de su imagen. De este
modo determinamos el signo de B en cada intervalo:
B(1) = −112

B(10) = −130

B(5) = 60

Por lo que el signo de B(q) se puede representar mediante el diagrama:
−
0−

+
8

25
9

En otras palabras, la zona de ganancias es

25
9 ,8

+∞
−→ Signo de B(q)
y la zona de p´rdidas es 0, 25 ∪ (8, +∞).
e
9

(b). El umbral de ganancias es el extremoinferior de la zona de ganancias, es decir q =

1

25
9

≈ 2.7778.

(c). Debemos resolver el problema de optimizaci´n
o
Maximizar : −9 q 2 + 97 q − 200
s.a.

q ∈ [0, +∞)

Para ellocalculamos la derivada de B(q):
B (q) = −18 q + 97
y determinamos sus ra´
ıces resolviendo la ecuaci´n
o
−18 q + 97 = 0 −→ q =

97
≈ 5.389
18

Puesto que B tiene un unico punto cr´
´
ıtico,...