Contabilidad

Modelos de distribución discreta

Distribución geométrica.
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución.
Propiedades
* Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesariospara obtener un éxito es

para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

para x = 0,1, 2, 3,....
En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.
* El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es

y dado que Y = X-1,

* La varianza es:

Como su análoga continua, ladistribución exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estosfallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.
De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía.
La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquierentero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca selloes de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
S S S S S S S A
Sí denotamos;
x =el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P (aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
q*q*q*q*q*q*q*p= qx-1p
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
p(X)=qx-1p

Dónde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) = (1/3)8–1(2/3)= 0.0003048

Distribución binomial negativa o de Pascal.
Distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que también es llamada distribución de Pascal.
El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución delk-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ.
La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Propiedades
* Su función de probabilidad es

Para enteros x mayores o iguales que k, donde
.
* Su esperanza matemática es:

Si se piensa en el número de fracasos únicamente y

Si se...