Contabilidad

Funciones de varias variables I

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________

Conceptos

Ejemplos

Funciones de
varias
variables I

Aritmética
Límites

Gráfica
Entornos

Continuidad

Curvas de
nivel

Abiertos
y
cerrados

Proyecto e-MathFinanciado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Funciones de varias variables I

INTRODUCCIÓN

___________________

No siempre es posible expresar una magnitud como función matemática de una sola variable. Al
contrario, las funciones de interés en ingeniería dependerán –en general- de un gran número de
variables. Este Math-block está dedicado a extender afunciones de más de una variable los
conceptos de límite, continuidad y derivabilidad que ya hemos visto en una dimensión en bloques
anteriores.
Empezaremos proporcionando ejemplos de magnitudes que se describen mediante funciones de
varias variables y representaremos en tres dimensiones las funciones de dos variables.
Después introduciremos las nociones topológicas necesarias para definir elconcepto de
distancia, que nos permite definir bolas, entornos, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados,
conjuntos compactos y puntos de acumulación.
Más tarde presentaremos el concepto de continuidad basándonos en la definición de límite, e
ilustraremos el cálculo de límites de funciones de más de una variable.

OBJETIVOS

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1.

Aproximarnos al concepto de funcionesde varias variables.

2.

Saber relacionar las curvas de nivel de una función con su gráfico.

3.

Entender la extensión de los conceptos de continuidad y límites para funciones de varias
variables.

4.

Clasificar, topológicamente, un conjunto 2D.

5.

Saber calcular límites direccionales y generales.

6.

Representar gráficamente, con la ayuda del Mathcad, funciones de 2variables y sus
curvas de nivel.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Para poder seguir con éxito esta unidad es recomendable haberse leído los siguientes Mathblocks: Uso básico del Mathcad, Funciones de una variable, Límites de funciones,
Continuidad, Derivación y Estudio local y representación gráfica en 2D.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

______________________________Definición de función de varias variables: Gráfica y curvas de nivel.
Una función con n variables reales es una regla f que asocia a cada punto
(x1, x2,.., xn) ∈ D ⊂ Rn un único número real z = f(x1, x2,.., xn). Representaremos esta función
como f: D → R. D se llama dominio de definición de f .
Ejemplos:

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación yUniversidades (MECD)

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Funciones de varias variables I
1.- Un sistema de fiabilidad con estructura en serie, formado por cuatro componentes(o bien
en circuitos eléctricos) funciona (la corriente pasa) si los cuatro componentes lo hacen. La
función de varias variables que describe el sistema sería f(x1,x2, x3, x4) = x1x2x3x4 donde el
componente i funciona si xi = 1, y no lo hace si xi = 0. Luego elsistema funciona si
x1 = x2 = x3 = x4 =1.
2.- Veamos el dominio de las siguientes funciones:

f ( x, y ) = x 2 + y 2 . f(x,y) está definida para cualquier par de valores reales (x,y). Por tanto,
D = R2.

g ( x, y ) =

2
. g(x,y) está definida para cualquier par de valores reales (x,y) tal que
x− y

x ≠ y (para que no se anule el denominador). Luego el dominio es todo los puntos delxyplano excepto los que están sobre la recta y=x.

h( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 . Como 1 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≤ 1 . Luego el dominio es todo
los puntos del xy-plano excepto los que están en el círculo de radio 1 y centro el origen de
2

coordenadas, es decir, D = R − B1 (0,0) . Donde B1 (0,0) es la bola cerrada de centro (0,0)
y radio 1.
i ( x, y ) = ln( x + y ) . El dominio de la...