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Matrices


Una matriz es una disposición rectangular de elementos de un conjunto dado. En este material los elementos son números reales.

En general un elemento cualquiera se denota aij, y la matriz A se expresa como
A = [pic]
El número de filas se representa por m, y el número de columnas por n. La expresión mn (se lee mn, o, mpor n) indica el tamaño u orden de la matriz, Así, A3x4 es una matriz de tamaño 3 por 4, lo cual significa que tiene 3 filas y 4 columnas.

Ejemplo:
Considérese las calificaciones de examen de 5 estudiantes en 3 pruebas. Esto se muestra en la siguiente matriz de tamaño 5x3.
Examen 1º 2º 3º
[pic]


Tipos de matrices

Algunasmatrices tienen nombres especiales, dependiendo de sus elementos o del número de filas o columnas.


Vector fila, columna: Una matriz con una sola fila se llama matriz fila o vector fila

[pic]1x4
Una matriz con una sola columna se llama matriz columna o vector Columna [pic]



Matriz cuadrada: Es toda matriz con igual número de filas y de columnas.

[pic]



Matriz cero: Es todamatriz donde todos sus elementos son ceros. Las más usadas son las cuadradas.

[pic] [pic] [pic]

Matriz identidad: Es toda matriz cuadrada cuyos elementos, en la diagonal principal, son todos iguales a 1, y los demás son 0.

[pic]




Matriz transpuesta: Si A es una matriz mn, se llama transpuesta de A, denotada AT y de tamaño nm, a la matriz que se formaintercambiando las filas y columnas de A,

A = [pic]

Matriz diagonal: Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero. La diagonal principal es aquella formada por las entradas a11, a22, a33, . . ., ann.

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyas entradas por debajo de la diagonal principal son ceros.Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyas entradas por encima de la diagonal principal son ceros.


Suma y resta de matrices

A y B, matrices, pueden sumarse o restarse, siempre y cuando tengan el mismo tamaño.
[pic]


Producto de matrices

El producto de dos matrices sólo es posible si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. Cadaelemento de la matriz resultante que se encuentra en la posición ik, se obtiene al multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz. Ese producto se encuentra multiplicando los elementos correspondientes de los dos vectores y sumando en forma algebraica.

[pic]

REDUCCIÓN DE MATRICES
3X + Y = 1
-X + 2Y = -12

En la solución del sistema de ecuaciones sereemplazó a éste por un sistema equivalente que era obtenido realizando ciertas operaciones elementales como son:
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero.
3. Suma de un múltiplo constante de los miembros de una ecuación a los correspondientes miembros de otra ecuación.

Estas mismas operaciones se aplicarán para reducirmatrices (o cualquier aplicación con matrices que lo necesite), pero ahora las operaciones elementales sobre renglones serán:
1. Intercambio de dos renglones de una matriz. Notación: [pic]
2. Multiplicación de un renglón de una matriz por un escalar diferente de cero. Notación: [pic]
3. Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a un renglón diferente de esa matriz. Notación:[pic].

Matriz reducida: Es una matriz que debe satisfacer las siguientes condiciones:
• Si un renglón no consta solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en el renglón llamado entrada principal, es 1, mientras que las demás entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros.
• En cada renglón, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la...