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Valor máximo y valor mínimo de una función
Si f es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de f, si
Existe un intervalo abierto tal que y para , siendo x un valor del dominio de la función.
Si para toda x en el dominio de f, entonces es el valor máximo de f o máximo absoluto. Similarmente, es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervaloabierto tal que y para , con x en el dominio de f.
Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:
Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:


Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en queestá definida.
Similarmente, es un valor mínimo relativo y es el mínimo absoluto de la función en .

Puntos Críticos
En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admitengeneralizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Puntos estacionarios (cruces rojas) y puntos de inflexión (círculos verdes). Es importante notar que los puntos estacionarios son puntos críticos, pero los puntos de inflexión no lo son.
Ejemplo:
La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar,con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2. Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número x0 para el cual 2x0 + 2 = 0. Este punto es un mínimo global de ƒ. El correspondiente valor crítico es ƒ (−1) = 2. La gráfica de ƒ es una parábola cóncava hacia arriba, el punto crítico es la abscisa del vértice, donde la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada delvértice y puede ser representado por la intersección de esta línea tangente y el eje y.
Teorema de Rolle
Si:
• es una función continua definida en un intervalo cerrado
• es derivable sobre el intervalo abierto
•

Entonces: existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que .


En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algúnpunto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza launicidad de c.
Ejemplo:
¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?
La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.


Teorema de Valor Medio
El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a, b) para elcual F'(x) = mF es decir, F'(x) = (F (b)-F(a))/ (b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo.
Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F (b). Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Rolle.
El teorema del valor medio es un resultado fuerte.Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.
En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la grafica de una función continua tiene una tangente...