Continuidad cálculo

Serrano Domínguez Víctor

Apuntes de Introducción al Cálculo

3 CONTINUIDAD
3.1 Definición de función continúa en un punto.
Def. Una función f es continua en un número a, si se satisfacen las tres condiciones siguientes: i) f(a) existe, ii) lim f ( x ) existe y
x→a

iii) lim f ( x ) = f (a )
x →a

Ejemplo Dada la función
⎧x 2 − 4 ⎪ ⎪− 2 x − 5 f (x) = ⎨ 2 ⎪− 8 x + x ⎪x ⎩ Ver si f escontinua en los números -1, 1 y 2 si x < −1 si − 1 ≤ x < 1 si 1 < x ≤ 2 si x > 2

Solución Comencemos con a = -1

La primera condición se cumple pues f(-1) = -2(-1) – 5 = -7 Para calcular el límite, calcularemos los límites laterales lim− f ( x ) = lim− ( x 2 − 4) = −3
x → −1 x → −1 x → −1

lim+ f ( x ) = lim+ (−2x − 5) = −3
x → −1

como los límites son iguales, entonces
x →−1

lim f (x ) = −3

Se cumple la segunda condición La tercera condición se cumple, pues lim f ( x ) = −3 = f (−1)
x → −1

Concluyendo que f es continúa en -1.

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Ahora con a = 1 La primera condición no se cumple, por lo que la función no es continua en 1. Finalmente con a = 2 La primera condición se cumple, pues f(2) = -8(2)2 +(2) = -30 Para calcular el límite, calcularemos los límites laterales lim− f ( x ) = lim− (−8x 2 + x ) = −7
x →2 x → −1 x →2 x →2+

lim f ( x ) = lim+ ( x ) = 2 lim f ( x )
x→ 2

como los límites no son iguales, entonces no existe Concluyendo que f no es continua en a = 2

3.2 Continuidad de la suma, producto y cociente de funciones continuas en un punto
Teo.- Sean f y g dos funcionescontinuas en a, entonces: f + g, f - g, f g son continuas en a y si g(a) ≠ 0, f/g es continua en a.

3.3 Definición de función continua en un intervalo
Si una función f es continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a , b), se dice que f es continua en el intervalo (a , b). Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a , b]. La función f es continua en [a , b] si lo es en (a , b)y además y lim− f ( x ) = f (b) lim+ f ( x ) = f (a )
x →a x →b

Ejemplo Sea
si x ≤ 1 ⎧4 x ⎪ f ( x ) = ⎨cx + d si 1 < x < 2 ⎪− 5 x si x ≥ 2 ⎩ encuentre los valores de c y d para los que f sea continua en R.

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Solución Cada una de las expresiones que definen la función es continua, en el intervalo donde está definida.Únicamente faltaría demostrar la continuidad en los puntos 1 y 2.

Comencemos con 1. La primera condición se cumple, pues f(1) = 4(1) = 1 Para calcular el límite, calcularemos los límites laterales lim f ( x ) = lim (4 x ) = 4 − −
x →1 x →1 x →1+ x→1

lim f ( x ) = lim (cx + d ) = c + d +
x →1

para que lim f ( x ) existe debe cumplirse que c+d=4 Por el momento, dejaremos pendiente lacondición (iii) de continuidad. Continuaremos con 2. La primera condición se cumple, pues f(2) = -5(2) = -10 Para calcular el límite, calcularemos los límites laterales lim− f ( x ) = lim− (cx + d ) = 2c + d
x →2 x →2 x →2+ x→2

(1)

lim f ( x ) = lim+ (−5x ) = −10
x →2

para que lim f ( x ) existe debe cumplirse que 2c + d = -10 Por el momento, dejaremos pendiente la condición (iii) decontinuidad. De la ecuación (1) y (2) c+d=4 2c + d = -10 restando la ecuación (1) menos la ecuación (2) -c = 14 c = -14 sustituyendo el valor de c = -14 en la ecuación (1) (-14) + d = 4 d = 18 Los valores son c = -14 y d = 18. La solución no termina, falta ver las condiciones (ii) y (iii) para 1 y para 2
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(2)

(1) (2)

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La segundacondición para el número 1 se cumple, pues lim f ( x ) = lim (4 x ) = 4 − −
x →1 x →1 x →1+

lim f ( x ) = lim (cx + d ) = c + d = −14 + 18 = 4 +
x →1

lim f ( x ) = 4
x →1

así como la tercera, pues lim f ( x ) = 4 = f (1)
x →1

La segunda condición para el número 2 se cumple, pues lim− f ( x ) = lim− (cx + d ) = 2c + d = 2(−14) + 18 = −10
x →2 x →2 x →2+

lim f ( x ) = lim+ (−5x...