Continuidad de funciones reales de dos variables reales

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Escuela de Ingenieros de Bilbao

Departamento Matemática Aplicada

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES
1.- Estudiar la continuidad en el origen de la función:

R | | f ( x, y ) = S | | T

xy x + y2
2

si ( x, y) ≠ (0,0) si ( x, y) = (0,0)

0

El domino de esta función es todo el plano

2

.

Para estudiar lacontinuidad en el origen, calculamos primero los límites direccionales – según rectas- en el origen: a.1)
( x , y ) →(0,0)
y = mx

lim

f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim
x→0 x →0

mx 2 x 2 + m2 x2

= lim
x →0

mx 2 | x | 1 + m2

=

| x | 1+ m existir, debe ser 0.
x →0 2

= lim

m | x |2

= lim
x →0

m 1 + m2

| x |= 0 . Por lo tanto, el límite doble, en caso de

a.2)

( x, y ) →(0,0)

lim

f ( x, y ) = lim+ f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) = lim+
θ ∈[ 0,2 π )

ρ 2 sin θ cos θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ

ρ →0

θ∈[ 0,2 π )

ρ →0

=

= lim+
θ ∈[ 0,2 π )

ρ 2 sin θ cos θ ρ2

ρ →0

= lim+
θ ∈[ 0,2 π )

ρ 2 sin θ cos θ ρ2

ρ →0

= lim+ ρ sin θ cos θ = 0 .
θ ∈[ 0,2 π )

ρ →0

Por lo tanto, el límite doble es 0. a.3) f (0, 0) = 0

Por lo tanto,la función es continua en el origen de coordenadas.

2.- Estudiar la continuidad en el origen de la función:

R xy |x + y | f ( x, y ) = S | 0 | T
2

2

si ( x, y) ≠ (0,0) si ( x, y) = (0,0)

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El domino de esta función es todo el plano

2

.

Para estudiar la continuidad en el origen, calculamos primerolos límites direccionales – según rectas- en el origen
mx 2 m = lim = ϕ (m) . Es decir, aunque 2 2 2 ( x , y ) →(0,0) x →0 x→0 x + m x x →0 1 + m2 y = mx existen límites direccionales para cada recta que pasa por el origen, sin embargo, son diferentes porque dependen de la pendiente. Por lo tanto, no existe el límite doble y por lo tanto, la función NO es continua en el origen de coordenadas. Esuna discontinuidad inevitable.. lim f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim

3.- Sea f la aplicación de ℜ 2 en ℜ definida por:

R 3xy |x − y | f ( x, y ) = S | 2 | T
2

2

si ( x, y) ≠ (0,0) si ( x, y) = (0,0)

a) Dibujar el conjunto de puntos para los cuales la función no está definida. b) Estudiar la continuidad de dicha función en el origen.

a) La función no está definida en todosaquéllos puntos en donde se cumpla que x 2 − y 2 = 0 ⇒ x 2 = y 2 ⇒| x |=| y | , que son las dos rectas bisectrices. Dicho de otra manera: dom f = {( x, y ) ∈
2

/ x 2 − y 2 ≠ 0} = {( x, y ) ∈

2

/ x ≠ ± y}

FALTA DIBUJO
b.1) f (0, 0) = 2 b.2)
( x , y ) →(0,0)
y = mx m≠±1

lim

f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim
x →0
m≠±1

x →0
m≠±1

3mx 2 3m = lim = ϕ (m) Por lo tanto, al 2 2 2 x→0 1 − m 2 x −m x m≠±1

ser dependiente de la pendiente cada límite direccional, se deduce que no existe el límite doble en el origen y por lo tanto, la función NO es continua en ese punto. Es una discontinuidad inevitable.

4.- Se considera la aplicación de ℜ 2 en ℜ definida por:

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R |x y | f ( x, y ) = S | | T
2x 2 y2 2 + ( x − y)2 0

si ( x, y) ≠ (0,0) si ( x, y) = (0,0)

Estudiar su continuidad en ℜ 2 .

En primer lugar vamos a estudiar su dominio:
dom f = {( x, y ) ∈
2

/ x 2 y 2 + ( x − y ) 2 ≠ 0 excluyendo ( x, y ) = (0, 0)}

⎧ ⎧x = 0 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ x y = 0 ⇒ ⎨ó 2 2 2 x y + ( x − y) = 0 ⇒ ⎨ ⎪ y = 0 ⇒ x = y = 0 Es decir, sólo se cumple la ⎩ ⎪ ⎪x − y = 0 ⇒ x = y ⎩ ecuación anterior en elorigen de coordenadas.. En consecuencia, la función está definida en todos los puntos del plano. Continuidad en el origen: a) f (0, 0) = 0 b)
( x , y ) →(0,0)

lim

f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim
x→0

m2 x4 m2 x 2 = lim 2 2 x →0 m 2 x 4 + ( x 2 − m 2 x 2 ) x → 0 m x + (1 − m 2 )

⎧ m2 x 2 m2 x2 = lim =0 ⎪Si m ≠ 1 ⇒ lim 2 2 x →0 m x + (1 − m 2 ) x →0 1 − m 2 ⎪ ⇒⎨ m2 x 2 m2 x 2 ⎪Si m =...
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