Control Automatico
Páginas: 21 (5046 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2012
CAPÍTULO 1
1. MODELADO Y RESPUESTA A LAZO ABIERTO DEL SISTEMA
Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemáticos que los representan. Debido a que el sistema a considerar es por naturaleza dinámico, las ecuaciones que las describen son ecuaciones diferenciales. No obstante al poderser linealizada, entonces la Transformada de Laplace puede se utilizada para simplificar el método de solución.
En la práctica, la complejidad de los sistemas y la ignorancia de factores relevantes necesitaremos la introducción a las asunciones concernientes a la operación del sistema. Por consiguiente nosotros a menudo encontraremos útil considerar la sistema físico, delineado bajo ciertasasunciones, y linealizado. Entonces, usando las leyes físicas describiremos el sistema equivalente lineal por medio de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente, utilizando herramientas matemáticas, tales como la Transformada de Laplace, obtendremos una solución que describirá el comportamiento del sistema.
Definición del Sistema a Controlar.
El Péndulo Invertido es unsistema conformado por una barra montado sobre un carro impulsado por un actuador. El objetivo a alcanzar, es mantener el péndulo en posición vertical tanto como sea posible y tener control sobre la posición del carro, bajo esta premisa el sistema en cuestión puede ser modelado como un sistema lineal considerando a las desviaciones angulares por parte del péndulo insignificantes, en donde la bondad deldiseño vendrá acondicionada por todos los movimientos que el carro necesita para posesionarse sin que el péndulo se desvié desde su posición vertical más de un cierto ángulo, el cual debe darse en un tiempo razonable.
Por lo tanto, el sistema de control a realizar tendrá dos salidas: inclinación del péndulo y posición del carro. Dichas salidas serán procesadas por el controlador a diseñarque dará como respuesta la fuerza y el sentido a aplicar al movimiento del carro.
Por ende la aplicación de un modelo en el espacio de estados será el idóneo, no obstante para fines didácticos haremos énfasis al control convencional a mas del mencionado, en donde la única variable a controlar será la desviación angular del péndulo independientemente de lo que sucede con la posición del carro.1. Modelo Matemático del Sistema.
Una vez planteado nuestros objetivos, no resta proceder al modelado matemático que describen el comportamiento dinámico que caracteriza nuestro sistema el cual es el primer paso a tomar en todo proceso de diseño, para ello haremos hincapié a las leyes físicas fundamentales que nos conducirán a las ecuaciones diferenciales respectivas que describirán talcondición.
Considere la ilustración de la siguiente figura, en la que el péndulo se monta en un carro controlado por una fuerza de control, considerando de antemano el problema en dos dimensiones, en el que el péndulo únicamente se mueve en el plano del papel.
[pic]
FIGURA. 1.1 (A) SISTEMA DEL PÉNDULO INVERTIDO, (B) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Definiendo el ángulo respecto ala línea vertical como (, al igual que a las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de la barra del péndulo como (xcg, ycg). De modo que:
[pic] (1-1)
[pic] (1-2)
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, considere el diagrama de cuerpo libre que aparece en la figura (b). El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtienemediante:
[pic] (1-3)
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo es
[pic] (1-4)
El movimiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante
[pic] (1-5)
Donde B es el coeficiente de amortiguamiento de la barra e I la inercia de la misma. El movimiento horizontal del carro se describe mediante
[pic] (1-6)
La...
1. MODELADO Y RESPUESTA A LAZO ABIERTO DEL SISTEMA
Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemáticos que los representan. Debido a que el sistema a considerar es por naturaleza dinámico, las ecuaciones que las describen son ecuaciones diferenciales. No obstante al poderser linealizada, entonces la Transformada de Laplace puede se utilizada para simplificar el método de solución.
En la práctica, la complejidad de los sistemas y la ignorancia de factores relevantes necesitaremos la introducción a las asunciones concernientes a la operación del sistema. Por consiguiente nosotros a menudo encontraremos útil considerar la sistema físico, delineado bajo ciertasasunciones, y linealizado. Entonces, usando las leyes físicas describiremos el sistema equivalente lineal por medio de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente, utilizando herramientas matemáticas, tales como la Transformada de Laplace, obtendremos una solución que describirá el comportamiento del sistema.
Definición del Sistema a Controlar.
El Péndulo Invertido es unsistema conformado por una barra montado sobre un carro impulsado por un actuador. El objetivo a alcanzar, es mantener el péndulo en posición vertical tanto como sea posible y tener control sobre la posición del carro, bajo esta premisa el sistema en cuestión puede ser modelado como un sistema lineal considerando a las desviaciones angulares por parte del péndulo insignificantes, en donde la bondad deldiseño vendrá acondicionada por todos los movimientos que el carro necesita para posesionarse sin que el péndulo se desvié desde su posición vertical más de un cierto ángulo, el cual debe darse en un tiempo razonable.
Por lo tanto, el sistema de control a realizar tendrá dos salidas: inclinación del péndulo y posición del carro. Dichas salidas serán procesadas por el controlador a diseñarque dará como respuesta la fuerza y el sentido a aplicar al movimiento del carro.
Por ende la aplicación de un modelo en el espacio de estados será el idóneo, no obstante para fines didácticos haremos énfasis al control convencional a mas del mencionado, en donde la única variable a controlar será la desviación angular del péndulo independientemente de lo que sucede con la posición del carro.1. Modelo Matemático del Sistema.
Una vez planteado nuestros objetivos, no resta proceder al modelado matemático que describen el comportamiento dinámico que caracteriza nuestro sistema el cual es el primer paso a tomar en todo proceso de diseño, para ello haremos hincapié a las leyes físicas fundamentales que nos conducirán a las ecuaciones diferenciales respectivas que describirán talcondición.
Considere la ilustración de la siguiente figura, en la que el péndulo se monta en un carro controlado por una fuerza de control, considerando de antemano el problema en dos dimensiones, en el que el péndulo únicamente se mueve en el plano del papel.
[pic]
FIGURA. 1.1 (A) SISTEMA DEL PÉNDULO INVERTIDO, (B) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Definiendo el ángulo respecto ala línea vertical como (, al igual que a las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de la barra del péndulo como (xcg, ycg). De modo que:
[pic] (1-1)
[pic] (1-2)
Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, considere el diagrama de cuerpo libre que aparece en la figura (b). El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtienemediante:
[pic] (1-3)
El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo es
[pic] (1-4)
El movimiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante
[pic] (1-5)
Donde B es el coeficiente de amortiguamiento de la barra e I la inercia de la misma. El movimiento horizontal del carro se describe mediante
[pic] (1-6)
La...
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