Control estadístico de procesos industriales

CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD EJERCICIOS
PROBLEMA 1. Se quiere controlar la duración de las llamadas telefónicas de los empleados de una compañía. Para ello se requiere realizar una estimación de la media poblacional del proceso. Se tomaron 3 muestras de tamaño 4. a) Estimar la . b) Calcular el error de la estimación anterior con una confianza del 95%. c) ¿Cómo podemos disminuir este error?d) ¿Cuántas muestras de tamaño 4 deberíamos tomar para obtener un error de 5 segundos con una confianza del 98%? Nota: estudios anteriores muestran que la σo = 20 seg. Muestra 1 (s) 45 3 31 35 28.5 55.5 Muestra 2 (s) 103 11 22 52 47 Muestra 3 (s) 186 53 34 91 91

Media (s) Media total (s) Solución: a)

La media poblacional estimada de segundos en llamadas es (para m = 3, n = 4), o ≈

mxi

o = 55.5 s

b) Para calcular el error de la estimación de la media poblacional con un (1–) = 0.95, entonces tenemos que  = 0.05 y por ello,



ˆ    z 2    nm 

2

 0.025 → z  1.96
2

  20  1.96     11.32seg   43    
resultando

 ± ξ = 55.5 ± 11.32 s = 55 ± 11 s

 ± ξ = 55 ± 11 s

c) El error de la estimación de la media puede serdisminuido de 2 formas: diminuyendo el nivel de confianza y/o aumentando el tamaño de la muestra. d) Con un nivel de confianza del 98%, (1–) = 0.98, = 0.02 y entonces obteniéndose para ξ = 5 seg.


2

 0.01 → z  2.325 ,
2

5

20  2.325 4m

→ m  21.62  22

Deberíamos tomar 22 muestras de tamaño 4 para obtener un error de 5 segundos.

Ejercicios resueltos

1

CONTROLESTADÍSTICO DE LA CALIDAD

PROBELMA 2. Queremos controlar un proceso de fabricación de pastillas de jabón. Una de las características más importantes es el pH. Los valores óptimos definidos por la empresa son pH= 10 y una tolerancias de ± 1. La fabricación es de 10000 jabones/h. Por otra parte la ley impone multas muy importantes si el pH es inferior a 8.5. Solución: ■ Estudio de la estimación delproceso. Se han tomado m = 20 muestras de n = 5 unidades cada una (m = 20, n = 5), de las cuales se ha obtenido una o = 9.8 (pH) y una desviación típica de σo = 0.2 (pH). Se han estudiado los errores de la estimación, obteniéndose para nuestro muestreo un ξ = 0.05 (media poblacional) y δ = 5% (desviación típica poblacional). Siendo los errores considerados aceptables. La representación gráficamuestra para un o ± 3σo (pues o ± Zα/2σo), Ley pH = 8.5 TI = 9 TS = 11 ----------│--------------│------*--------------------*--------------------*------│-------o – 3σ = 9.2 o = 9.8 o + 3σ = 10.4 Para estar en el límite de la legislación y no fabricar ningún jabón fuera de la ley, la media del proceso de fabricación debe estar en 1 = 9.1 (pH), suponiendo σo = 0.2 (pH), pues ello supondría que, 1 ±3σo = 9.1 – 3(0.2) = 8.5. Para ello la media de nuestro proceso debería desplazarse exactamente, d = 0.7 unidades de pH (o → 1) para estar fuera de la legislación. Antes de construir los gráficos de control debemos realizar un estudio de idoneidad del proceso. Un proceso será capaz cuando fabrique menos unidades defectuosas que las definidas como máximas para este proceso. Por ello, nosmarcaremos un valor máximo de unidades defectuosas, p. Así la capacidad potencial (Cp) mide si el proceso tiene posibilidad de alcanzar el nivel máximo de unidades defectuosas definido, y la capacidad real (Cpk) mide si en el momento actual en que se realiza el estudio el proceso es capaz de alcanzar dicho nivel máximo de unidades defectuosas (en función de nuestras tolerancias requeridas). Solamentepasaremos al diseño de los gráficos de control cuando el proceso de fabricación sea capaz o potencialmente capaz. ■ Queremos saber si el proceso con una media o es capaz de fabricar dentro de las tolerancias requeridas.

TS  TI Cp  ˆ 2  Z p  o
2

C pk

   TS   o  o  TI  ,  min ˆ ˆ   Zp o Zp o  2 2  

Definiremos como nº máximo de defectuosos: p = 1‰ = 0.001 → p/2 =...