Control

Control

Taller 1

Taller 1
Ang´lica Cifuentes 261185 e Camilo D´ 261192 ıaz 10 de septiembre de 2009

1.

Controlador proporcional
Para la planta nominal: G(s) =

1,5 2∗s−1 El sistema en lazo cerrado tiene un controlador proporcional. ¿Cu´l es la m´ a ınima ganancia del controlador para estabilizar el sistema? Para que el sistema sea estable se debe garantizar que el polo (ya ques´lo hay uno) est´ en el semiplano izquierdo del plano complejo, o a por lo tanto: 1,5 ∗ Kp T (s) = 2 ∗ s − 1 + 1,5 ∗ Kp T (s) = haciendo 0,5 − 0,75 ∗ Kp < 0 2 3 Se deduce que la m´ ınima ganancia del controlador es 2/3. Kp > ¿Qu´ valor de ganancia del controlador proporcional hace que el sistema en lazo cerrado responda en e aproximadamente 0.25seg? Para obtener el tiempo de respuesta, se debeigualar la funci´n de transfero encia de la forma can´nica, de esta manera: o T (s) = 1 s+A 0,75 ∗ Kp s − 0,5 + 0,75 ∗ Kp

Y sabiendo que el tiempo de establecimiento del sistema est´ dado por: a τ= se tiene que −Ln(0,02) A

−1 + Kp 2 Resolviendo el sistema e igualando a 0.25s se tiene que A= Kp = 32,29 La gr´fica de la respuesta en el tiempo de este sistema est´ en la figura 1. a a

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¿Qu´valor de ganancia del controlador proporcional hace que el error en estado estacionario del sistema e en lazo cerrado sea menor al 2Para evaluar el error de estado estacionario se debe hacer s=0, T (0) = Como se quiere que el erro sea menor al 2 0,98 < Y ee < 1,02 0,98 < 1,5 ∗ Kp < 1,02 −1 + 1,5 ∗ Kp 1,5 ∗ Kp −1 + 1,5 ∗ Kp

−0,98 + 1,47 ∗ Kp < 1,5 ∗ Kp1,5 ∗ Kp < −1,02 + 1,53 ∗ KP −0,98 < 0,03 ∗Kp1,02 < 0,03 ∗ Kp Ya que Kp debe ser mayor a cero 34 < Kp Esto se verifica en la gr´fica de la figura 2. a ¿Qu´ valor de ganancia del controlador proporcional aten´´a una perturbaci´n d(t) = 1 a la entrada e u o de la planta en un 1El valor de estado estable del sistema con la perturbaci´n est´ dado por: o a M (0) = y lo que se busca es que; T (0) + 0,99 = M (0) Resolviendo la ecuacion se llega a que;Kp = 7,13 ¿Qu´ valor de ganancia del controlador proporcional aten´a una perturbaci´n d(t) = 1 a la salida de e u o la planta en un 5Al resolver la ecuaci´n del numeral anterior se obtiene un valor aproximado tambi´n o e de 7.13. ¿Cu´l es el valor estacionario de la salida con una perturbaci´n a la salida de d(t) = -1, con d(t) = 1, y a o con ambas perturbaciones a la entrada y a la salida de laplanta? Con la perturbaci´n de -1 a la salida o de la planta se tiene la figura 3, con perturbaci´n 1 a la salida de la planta se tiene la figura 4 y con o ambas perturbaciones se tiene la figura 5. Simule y compare la respuesta en lazo cerrado del sistema nominal y con variaciones del 20La figura 6 muestra el sistema nominal, la fugira 7 con variaci´n del +20 Observando las tres gr´ficas es evidente o aque el controlador no es para nada robusto, con la variaci´n del 20 o Concluya sobre el sistema en lazo cerrado, la ganancia proporcional, la sensibilidad, desempe˜o y n robustez del sistema. El sistema en lazo cerrado es muy [util ya que permite conocer el estado actual del sistema, y en base a eso actuar y lograr una mayor precisi´n en la busqueda de la se˜al de referencia, o n larealimentaci´n permite calcular un error, y crear un sistema que lo minimice al m´ximo. La ganancia o a proporcional es muy util a la hora de acelerar el sistema, es decir, de lograr que el error se acerque a ´ cero r´pidamente, permite imprimir bastante potencia al sistema; sin embargo, no logra la precisi´n a o necesaria para que el errr de estado estable sea cero, ya que cuado est´ muy cerca de lograrlo supotencia a m´ ınima es mayor de la necesaria para moverse cantidades peque˜as. Sobre la robustez, todo depende n de la magnitud de la constante proporcional, ya que constantes proporcionales grandes, generalmenre anulan las perturbaciones (aunque se corre el riesgo de que las amplifiquen), y en el otro extremo, constantes proporcionales peque˜as se ven bastante afectadas por las perturbaciones....