control

DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

CONTROL AVANZADO II

TRABAJO PRACTICO 1:
EXTENSIONES DEL CONTROL LQR

Agosto de 2011

CONTROL AVANZADO II

2011

1. INTRODUCCION
El objetivo del trabajo práctico es mostrar sobre ejemplos concretos de sistemas continuos algunas
de las variantes del control LQRestudiadas en teoría.
En la primera parte se calculará un control óptimo para que sea robusto ante la variación de
parámetros de la planta y se realizarán comparaciones contra un control LQR estándar. En la segunda
parte se verá el cálculo del control con el agregado de un grado de estabilidad preestablecido.
El modelo matemático a utilizar en este trabajo práctico es el correspondiente a unresorte de
torsión, dicho modelo se corresponde con uno de los modelos mecánicos presentes en el Laboratorio de
Control. Los detalles del mismo pueden consultarse en el apéndice ubicado al final de la presente guía.

1.1. Control LQR con funcional costo con modificación de parámetros (SWLQR)
Sea el siguiente sistema dinámico lineal, multivariable, invariante en el tiempo, continuo de orden n,
conm entradas y p salidas, expresado a través de sus variables de estados por el sistema de
ecuaciones matriciales:

ɺ
X = A. X + B.U
Y = C. X

[ X ]nx1 , [ A]nxn , [ B]nxm , [U ]mx1
[Y ]px1 , [C ]pxn

(1.1)

donde X es el vector de estados, Y es el vector de salidas, A es la matriz de evolución, B es la matriz de
control y C es la matriz de salida.
El control LQR estándar plantea elproblema de encontrar el control U(t) capaz de minimizar el
funcional J
∞

J = ∫ ( X '.Q. X + U '.R.U ).dt

(1.2)

0

En ocasiones es necesario ampliar este problema incorporando en el funcional un término adicional
que contempla índices cruzados entre X y U, el funcional planteado para este caso es el siguiente:
∞

J = ∫ ( X '.R XX . X + 2. X '.R XU .U + U '.RUU .U ).dt

(1.3)

0Se demuestra que el control que minimiza dicho funcional es único y vale:

U (t ) = − K . X (t )
con

(1.4)

−1

K = RUU .( R XU '+ B'.P)

(1.5)

donde P es la única solución simétrica definida positiva de la ecuación de Ricatti:
−1

P. Ar + Ar '.P − P.B.RUU .B '.P + Q = 0
−1

Ar = A − B.RUU .R XU '

(1.6)

−1

Q = R XX − R XU .RUU .R XU '
La matriz RXX debe sersimétrica semidefinida positiva, RUU debe ser simétrica definida positiva, y
además debe cumplirse que la matriz

 R XX R XU 

 debe ser semidefinida positiva para que exista solución.
 R XU ' RUU 


Trabajo Práctico 1

Extensiones del control LQR

Pág. 2 de 6

CONTROL AVANZADO II

2011

Cabe destacar que si la matriz RXU=0 el problema se reduce al caso del control LQRestándar ya
estudiado.
Este funcional costo con índices cruzados permite plantear el problema de encontrar un control LQR
que admita variaciones en los parámetros de la planta, o sea, encontrar un control LQR que sea robusto
a la variación de parámetros.
Nombrando con α al parámetro que presenta variaciones en su valor nominal, el control LQR
robusto ante dichas variaciones se calcula eligiendo unfuncional costo con índices cruzados con los
siguientes pesos matriciales:

∂A' −1
∂A
~
.( A )'.Rαα . A −1 .
R XX = R XX +
∂α
∂α
∂A' −1
∂B
~
R XU = R XU +
.( A )'.Rαα . A −1 .
∂α
∂α
∂B ' −1
∂B
~
RUU = RUU +
.( A )'.Rαα . A −1 .
∂α
∂α

(1.7)

donde Rαα debe ser cuadrada nxn simétrica semidefinida positiva y cuantifica el peso
correspondiente a la sensibilidad en losestados respecto a la variación del parámetro α. Las

~
~
R XU y RUU son los pesos nominales del control LQR estándar, el término adicional
agrega la influencia de la variación del parámetro α . Variando la matriz Rαα convenientemente es
~

matrices R XX ,

posible hacer al sistema más o menos insensible a dicha variación.

1.2. Control LQR con restricciones en la ubicación de polos...