Control

Introducción
En la práctica, la señal de entrada de un sistema de control no se conoce con anticipación, pero es de naturaleza aleatoria, y la entrada instantánea nos puede expresarse de forma analítica. Sólo en algunos casos especiales se conoce con anticipación la señal de entrada y se puede expresar de forma analítica o mediante curvas; tal es el caso del control automático de herramientasde corte.
En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener una base de comparación del comportamiento de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.
Muchos criterios de diseños se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a loscambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales.

Respuesta Transitoria y Respuesta en estado Estacionario
La respuesta en el tiempo de un sistemade control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario. La respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado transitorio se entiende la manera como se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito. Por tanto, la respuesta del sistema ct se puede escribir como:

Donde el primer términodel miembro derecho de la ecuación es la respuesta transitoria y el segundo término es la respuesta en estado estacionario.

Sistemas de primer orden

Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:

τ dydt  y  k u

dondek se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema.

En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables

“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 , u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

τsY s y0Y s kUs | | | |
τsY sY s kUs | | | |τs 1Y s kUs | | | |
| k | | | |
Y s | | U s | | | |
| τs 1 | | | | |
Y s gsU s | | | |
gs | k | | | |
| | | | | |
| τs 1 | | | |
| | | | |
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal | v | y se le | |
extrae el mismo caudal: | | | | | |

Del balance de materia | | d VC  || | | | |
| | | |  vCin |  vC | | |
| | | dt | | | | |
| | | | | | | | |
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal | |
| | | dC  v Cin  v C | | |
| | | dt | V | | V | | |
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto | | |
d C  Cs   v Cin |  Cin s  v C  Cs  | |
| | dt | V | | V | ||
| V d C  Cs  |  C  Cs  Cin |  Cin s  | |
| v | | dt | | | | |
| | | | | | | | |
Que es de la forma | | | | | | | |
| | | τ dydt  y  k u | | |
donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s | | |

Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas

Seguimos manejándonos con el esquema

donde | gs | | | k | | || |
| | | | | | | | | |
| |  | s 1 | |
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Escalón de magnitud U a tiempo t = 0 | |
Sabemos que | LU  | U | |
| | | |
| | | s | |
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Por lo tanto | Y s | | k U | |
| | | | |
| | | | | | | |
| | | sτs 1 | |

Tomando antitransformadas | | | L-1 |  | | 1 |  | 1 et τ...