Convergencia

´
Ordenes de la convergencia.
Condiciones de la convergencia lineal y cuadr´tica
a
del m´todo de iteraci´n simple
e
o
Estos apuntes est´n redactados por Maria de los Angeles Isidro P´rez y Egor Maximenko.
a
e
Objetivos. Definir el orden de convergencia de una sucesi´n a su l´
o
ımite. Establecer condiciones
suficientes para la convergencia lineal y cuadr´tica del m´todo del punto fijo.a
e
Requisitos. L´
ımite de una sucesi´n, m´todo del punto fijo, teorema del valor medio, f´rmula
o
e
o
de Taylor.
1. Definici´n (orden de convergencia). Sea {an }∞ una sucesi´n que converge a b, con
o
o
n=0
an = b para todo n ∈ N y sean α > 0 y λ > 0. Si
|an+1 − b|
= λ,
n→∞ |an − b|α
l´
ım

entonces se dice que la sucesi´n {an }∞ converge a b con orden α y una constante de erroro
n=0
asint´tica λ.
o
2. Definici´n (convergencia lineal y cuadr´tica). Sea {an }∞ una sucesi´n convergente.
o
a
o
n=0
Se dice que la sucesi´n {an }∞ :
o
n=0
converge linealmente, si el orden de la convergencia es 1;
converge cuadr´ticamente, si el orden de la convergencia es 2.
a
3. Ejemplo. Consideremos las sucesiones {an }∞ y {cn }∞ definidas mediante las siguientes
n=0
n=0reglas:
a0 = 1,
an+1 = 0.3an ;
c0 = 1,
cn+1 = 0.6 · c2 .
n
Claramente ambas sucesiones convergen a 0. Calcular an y cn para n = 1, 2, 3, 4, 5. Calcular
N1 := m´
ın{n : an < 10−6 },

N2 := m´
ın{n : cn < 10−6 }.

Soluci´n. Calculemos a1 , . . . , a5 :
o
a1 = 0.3,

a2 = 0.09,

a3 = 0.027,

a4 = 0.0081

, a5 = 0.00243

Resolvemos la desigualdad an < 10−6 :
an < 10−6

⇐⇒
⇐⇒0.3n < 10−6
n > 11.4
p´gina 1 de 5
a

⇐⇒
⇐⇒

n ln(0.3) < −6 ln(10)
n ≥ 12,

as´ que N1 = 12.
ı
Calculemos c1 , . . . , c5 :
c1 = 0.6,

c2 ≈ 2.2 · 10−1 ,

c3 ≈ 2.8 · 10−2 ,

c4 ≈ 4.7 · 10−4 ,

c5 ≈ 1.32 · 10−7 .

Se ve que cn es decreciente y N2 = 5.
4. Ejercicio. Muestre que cada una de las siguientes sucesiones converge linealmente a 0:
1
,
n

1
,
n3

1
.2n

n

5. Ejercicio. Muestre que la sucesi´n 3−2 converge cuadr´ticamente a 0.
o
a
6. Ejemplo simple de una sucesi´n que converge a 0 linealmente. Sea λ ∈ (0, 1). Hallar
o
la f´rmula general para la sucesi´n {xn }∞ definida por:
o
o
n=0
x0 = 1,

xn+1 = λxn .

Soluci´n. El n-esimo t´rmino de la sucesi´n est´ dado por:
o
e
o
a
xn = λn .

7. Ejemplo simple de una sucesi´n queconverge a 0 cuadr´ticamente. Sea λ ∈ (0, 1).
o
a
Hallar la f´rmula general para la sucesi´n {xn }∞ definida por:
o
o
n=0
x0 = 1,

xn+1 = λ(xn )2 .

Soluci´n. El n-esimo t´rmino de la sucesi´n est´ dado por:
o
e
o
a
xn = λ2

n −1

.

Multiplicidad del cero de una funci´n
o
8. Definici´n (multiplicidad del cero). Se dice que el cero p de la funci´n f tiene multiplio
o
m
cidadm si la funci´n f se puede escribir en forma f(x) = (x − p) g(x), para (m = 0) y x = p,
o
donde l´ g(p) = 0.
ım
x→p

p´gina 2 de 5
a

9. Observaci´n. Si la funci´n f de la definici´n anterior es de clase Cm , entonces p es un cero
o
o
o
de f de multilicidad m si y s´lo si:
o
f(p) = 0,

f (p) = 0,

...,

f(m−1) (p) = 0,

f(m) (p) = 0.

10. Criterio de cero simple. f ∈ C1[a, b] tiene un cero simple (de multiplicidad 1) en p,
donde p ∈ (a, b), si y s´lo si f(p) = 0 y f (p) = 0.
o
11. Criterio de cero de multiplicidad m. La funci´n f ∈ Cm [a, b] tiene un cero de multio
plicidad m en p en (a, b) si y ´olo si f(p) = f (p) = · · · = f(m−1) (p) = 0, pero f(m) (p) = 0.
s
12. Ejemplo. Calcular la multiplicidad de cero de f(x) = ex − x − 1 en el punto p = 0.Soluci´n. Calculamos las dos primeras derivadas:
o
f (x) = ex − 1,

f (x) = ex .

Ahora calculamos el valor de las funciones: f, f y f en el punto p = 0:
f(0) = 0,

f (0) = 0,

f (0) = 1.

Vemos que: f(0) = f (0) = 0, pero f (0) = 1 por lo tanto p=0 es un cero de multiplicidad
m = 2.

13. Ejercicio. Calcular la multiplicidad de cero de f en el punto p = 0:
1. f(x) = cos x − 1.
2. f(x)...