Convolución De Señales Usando Matlab

Tema #4: Convolución de Señales sencillas, usando MATLAB


I. OBJETIVO:
Reforzar los conceptos teóricos sobre convolución, comprender las limitaciones del ordenador para trabajar con las señales y su convolución, comparar los resultados del ordenador con los analíticos.


II. INTRODUCCIÓN TEÓRICA:

CONVOLUCIÓN
En matemáticas y, en particular, análisis funcional, unaconvolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.

DEFINICIÓN
La convoluciónde y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia η.

El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ) no implique unaviolación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.

USO
La convolución y las operaciones relacionadasse encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.

* En estadística, como un promedio móvil ponderado.
* En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
* En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Unasombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
* En acústica, un eco es la convolución del sonido original con unafunción que represente los objetos variados que lo reflejan.
* En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).
* En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición",aparece una operación de convolución.

III. PROCEDIMIENTO:

1. Convolución de Señales Finitas.

2.1 Vamos a calcular la convolución entre dos señales x(t) y h(t) que, en este caso, van a ser iguales, x y h van a ser (ambas) un pulso rectangular centrado en t=0, de amplitud 1 y que se extenderá desde t=-1 a t=1.

SOLUCIÓN.

Veamos como generarla en Matlab:

>>t=-10:0.1:10;
>> L=length(t);
>> p1=find(t==-1);
>> p2=find(t==1);
>> x=zeros(1,L);
>> x(p1:p2)=1;
>> figure (1)
>> plot(t,x)
>> h=x;
>> figure(2)
>> plot(t,h)
>> y=myconv(h,x);
>> w=-20:0.1:20;
>> figure (3)
>> plot(w,y)

Figure (1)

Figure (2)

Figure (3)

2.2 Realizar laconvolución de las siguientes señales:
- x(t): pulso triangular en t=0, altura 1, entre t=-2 y t=2.
- h(t): pulso rectangular de altura 1, entre t=0 y t=2.

SOLUCIÓN.
Para generar el pulso rectangular h(t) lo haremos como en el ejercicio anterior, mientras que para generar la función triangular x(t) lo haremos de la siguiente manera:

>> p3=find(t==-2);
>> p4=find(t==0);
>>...