Coordenadas Esfericas

Coordenadas esféricas. Definición
Contenido[ocultar] * 1 Definición * 1.1 es siempre positiva * 1.2 vale como mucho, no * 1.3 Geografía... * 1.4 ...y astronomía * 2 Enlaces |
1 Definición

Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje. Su definición es la siguiente:
* Lacoordenada radial : distancia al origen
* La coordenada polar : ángulo que el vector de posición forma con el eje .
* La coordenada acimutal : ángulo que la proyección sobre el plano forma con el eje .
Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
1.1 es siempre positiva
La coordenada radial es una distancia siemprepositiva. Si, partiendo de un punto , vamos reduciendo el valor de , al atravesar el origen de coordenadas vuelve a aumentar. Lo que cambian son los valores de , que pasa a valer (¿Por qué?) y , que pasa a ser (¿Por qué?).
1.2 vale como mucho, no
Es un error muy común el suponer que llega hasta , como . Hay que recordar que ambas coordenadas tienen significados geométricos muy diferentes. equivale ala longitud geográfica, mientras que es el complementario de la latitud.
El valor corresponde al Polo Norte. Si ahora aumentamos , lo que hacemos es viajar hacia al sur. El Polo Sur es . Y es lo máximo a lo que podemos llegar. No se puede viajar al sur del Polo Sur. Si siguiéramos recorriendo la superficie terrestre lo que estaríamos haciendo es ya volver hacia el norte, lo que supone reducir .Eso sí, al pasar por el Polo Sur, la longitud cambia a .
1.3 Geografía...

El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.
La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la coordenada polar (por lo cual a ésta se la llama también colatitud).La latitud, en lugar de variar de (en el Polo Norte) a (en el Polo Sur) lo hace desde a .
La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich). Equivale a la coordenada acimutal .
La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La altitud de un punto de la superficie equivale al valor de con el radio de la Tierra (suponiendo ésta unaesfera, lo que es solo una aproximación).
1.4 ...y astronomía

Para situar las estrellas en el firmamento también es preciso emplear coordenadas esféricas. Existen varias posibilidades, siendo la más usada la formada por la ascensión recta y la declinación.
La declinación es el equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al ecuador celeste y la ascensión recta corresponde a lalongitud, medida desde un punto de referencia conocido como punto vernal (o punto Aries).
La coordenada radial sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas respecto de la Tierra.

Coordenadas Cilíndricas
En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de laproyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares
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Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas
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Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas
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El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo # 1
* Convertir el Punto a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante donde es negativo (-3) y es positivo...