Coordenadas Polares, Cilindricas y Esfericas

Coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es importante debido a que ciertas curvas tienen ecuaciones más simples en coordenadas polares. Además, las 3 cónicas (parábolas, elipse e hipérbola) pueden representarse mediante una ecuación.
Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Lascoordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo y a un rayo fijo (o semi recta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. el rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha.
Sea Pcualquier punto del plano diferente de O, sea θ la medida en radianes del angulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su lado final el rayo OP. Si r es la distancia no dirigida de O a P (esto es, r = OP ), un conjunto de coordenadas polares de P está dado por r y θ, y se denotanestas coordenadas como (r, θ).

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientosgiratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde unpunto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

Ejemplo 1
Localice cada uno de los siguientes puntos que tienen los conjuntos dados de coordenadas polares: (a) (2, 1/4π); (b) (5, 1/2π); (c) (1, 2/3π); (d) (4, -1/3π); (f) (5/2, -π).Solución
(a) El punto (2, 1/4π) se determina al dibujar primero el ángulo que tiene una medida en radianes de 1/4π cuyo vértice está en el polo y su lado inicial sobre el eje polar. El punto en el lado termina que está a 2 unidades del polo es el punto (2, 1/4π).

Ejemplo 2
La imagen muestra el punto (4, 5/6π + 2kπ), donde k es cualquier numero entero, proporcionan el mismo punto. Así, unpunto particular tiene un número ilimitado de conjuntos de coordenadas polares, a diferencia del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, en el cual existe una correspondencia uno a uno entre las coordenadas y la posición de los puntos en el plano. Un ejemplo más se tiene al considerar conjuntos de coordenadas polares para el polo. Si r = 0 y θ es cualquier número real, se tiene el polodesignado por (0, θ).
A continuación se consideraran las coordenadas polares para las cuales r es negativo. En este caso, en lugar de que el punto este en el lado terminal del ángulo, el punto se encuentra sobre la prolongación del lado terminal, la cual es el rayo desde el polo se extiende en sentido opuesto al lado terminal. En consecuencia, si P esta sobre la prolongación del lado terminal delángulo cuya medida en radianes es θ, entonces un conjunto de coordenadas polares de P es (r, θ), donde r = -|OP|.

Ejemplo 3
El punto (-4, -1/6π) mostrado en la imagen (a) es el mismo punto que (4, 5/6π), (4, -7/6π) y (4, 17/6π) del ejemplo anterior. Otro conjunto de coordenadas polares para este punto es (-4, 11/6π), vea la imagen (b).
Imagen (a)
Imagen (a)

Imagen (b)
Imagen (b)

A...