Correlación y regresión lineal simple

TEMA 6
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
6.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior se han presentado situaciones reales que estudian
fenómenos en los que intervienen dos variables conjuntamente, buscando analizar la
relación entre ambas. Así, por ejemplo, se puede estudiar la relación existente entre la
experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos o entre laproducción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.
Sabemos también que siempre que sea posible predecir con exactitud los valores
de una variable a partir de los de la otra, se dice que ambas variables están en relación
funcional o que cuando las dos variables no tienen ninguna relación se dice que son
independientes y podemos estudiarlas por separado.
No obstante, en la mayoríade problemas económico-empresariales, entre dos
variables no se puede establecer una relación funcional ni tampoco afirmar que exista
interrelación. Se dice que existe relación o dependencia estadística entre las dos
variables y su análisis se puede abordar desde dos enfoques distintos y
complementarios:
a) La determinación de una función matemática que mejor explique las
variaciones de lavariable dependiente (endógena), en función de las
fluctuaciones que experimente la variable independiente (exógena).
b) El estudio del grado de dependencia existente entre las variables
estudiadas.
De la determinación de la función matemática que explica las fluctuaciones de
una variable en función de la otra se encarga la denominada Teoría de la Regresión.
Mientras que el estudio del gradode dependencia que pueda existir entre las variables es
propio de la denominada Teoría de la Correlación.

6.2. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
Con el fin de analizar visualmente el tipo de relación existente entre las dos
variables consideradas X e Y, una de las representaciones gráficas más usuales de una
distribución de frecuencias conjunta es la nube de puntos o diagrama de dispersión,
queconsiste en trazar un plano de coordenadas sobre cuyo eje de abscisas

representamos los valores de la variable X, reservando el eje de ordenadas para los
valores de Y. Es decir, se construye representando cada elemento observado por un
punto en el plano de manera que las coordenadas sobre los dos ejes cartesianos sean los
valores que toman las dos variables en ese elemento. Existen diferentesformas de
señalar sobre dicho diagrama la frecuencia de cada par. Una posibilidad puede ser
representar el punto con un mayor o menor grosor en función de las veces que se repite
el par o bien indicar junto al punto el valor de la frecuencia entre paréntesis.
Ejemplo:
120

100

80

60

40

20

0
0

10

20

30

40

50

60

Tasa de natalidad (por 1.000 habitantes)Figura 6.1: Diagrama de dispersión de la tasa de natalidad frente al % de
habitantes que viven en ciudades de una muestra de 100 países del mundo

6.3. COVARIANZA
Al igual que ocurría con las características estudiadas en el Tema 3, la relación
entre dos variables también puede expresarse de forma numérica. La covarianza es una
medida de la asociación lineal entre dos variables que resume lainformación existente
en un gráfico de dispersión. Así, la covarianza entre X e Y se denotará por S XY y viene
dada por la expresión:
S XY =

1
N

k

h

( xi
i 1 j 1

x )( y j

y )nij =

1
N

k

h

xi y j nij x y
i 1 j 1

Ejemplo:
Calculamos la covarianza para el ejemplo de los saldos de cajas y bancos. Para
ello consideramos las marcas de clase de cada intervalo.X \ Y 50.000 150.000
6
20
500
10
10
3.000
14
6
7.500
30
36
n.j

1
N

k

h

xi y j nij
i 1 j 1

1
N

x

S XY

1
N

k

500 50.000 6 500 150.000 20

1
66

3.000 50.000 10 3000 150.000 10

297.727.272,73

7.500 50.000 14 7.500 150.000 20

k

xi ni
i 1

1
N

y

ni.
26
20
20
66

1
500 26 3.000 20 7.500 20
66

h

3.378 ,79

yi n j...