Correlacion

(6) Coeficiente de correlación lineal

r de Pearson

Es una medida de “asociación lineal” entre dos variables
Poblacional

Muestral
n



r

Cov( X , Y )

 
2
X

2
Y

(X
i 1

n

(X
i 1

i

i

 X )(Yi  Y )

 X)

n

2

 (Y
i 1

n 1
Donde,

i

 Y )2

n 1

0  r 1

Características
a) Si r  1 la relación se dice “perfectapositiva”
b) Si r  1 la relación se dice “perfecta negativa”
c) Si r  0 la relación se dice “correlación positiva no perfecta”
d) Si r  0 la relación se dice “correlación negativa no perfecta”
e) Si r  0 la relación se dice “correlación nula”
f) Es simétrica pues rXY  rYX .

Propiedades:
g) Si r  0 , eso no implica independencia entre las variables.
h) Si X y Y son linealmenteindependientes, el coeficiente de correlación es
cero.
i)

r

R 2 es una medida de asociación lineal, es decir, mide la

asociación lineal entre dos variables.
j) A r también se le denomina coeficiente de correlación de orden cero
Perfecta positiva

Perfecta negativa

Positiva no perfecta

Nula

Negativa no perfecta

Significación del coeficiente de correlación
Con el valor delcoeficiente de correlación, se debería determinar si tal valor muestra
que las variables X e Y están relacionadas en la realidad o el valor obtenido es sólo
producto del azar o la casualidad. En otras palabras, se debe responder la
significación del coeficiente de correlación.

r es significativo si se puede afirmar con una cierta probabilidad que es distinto de
cero.
Hipótesis:

H0 : X Y  0

 el coeficiente de correlación de la población es cero

HA : XY  0

 el coeficiente de correlación de la población es cero

Estadístico de prueba:

La distribución muestral de una correlación procedente de una población con
correlación igual a cero es una t-student(n-2), con media cero y varianza igual a

S 
2
r

1  rX2 Y
n2

De la muestra, se calcula elcuantil muestral bajo el supuesto que la hipótesis nula
es verdadera.

t

rX Y  0
1  rX2 Y
n2

Se compara el valor del estadístico muestral con la distribución que tenga un error
de tipo I igual a un alfa elegido (0.05 es el más usual). En otras palabras, comparar
el estadístico muestral arriba con el cuantil de la distribución

t ,n 2

Decisión:

Si

t  t ,n2

Rechaza lahipótesis nula.

Si

t  t ,n2

Acepta la hipótesis nula.

Interpretación:

Si
).
Si

t  t ,n2

La muestra no pertenece a una población con correlación cero (

t  t ,n2

La muestra pertenece a una población con correlación cero (

(7) Coeficiente de correlación de orden

m

XY  0

XY  0

).

Por orden se entiende el número de índices secundarios, porejemplo:

r12.4 

Coeficiente de correlación de orden 1

r12.34 

“

“

“

“

2

r12.345 

“

“

“

“

3

r12 

“

“

“

“

0

(ó de primer orden).

Así, por ejemplo, algunos coeficientes de orden m:

r12.3  coeficiente de correlación entre X 1

X3 .
y X 2 manteniendo ctes

r12.34  coeficiente de correlación entre X 1

X3 y
y X 2manteniendo ctes

X4 .

RY 1.23  coeficiente de correlación entre Y

X3 .
y X 1 controlando X 2 y

De forma similar se interpretan los demás coeficientes de orden m .
La correlación con una sola variable independiente se llama simple.
La correlación con más de una sola variable independiente se llama múltiple

(8) Coeficiente de correlación múltiple
Es el coeficiente de determinaciónR2

(9) Coeficiente de correlación semiparcial
La correlación semiparcial en regresión múltiple, en el proceso de inclusión de
variables, busca ver la contribución de los distintos regresores en la explicación de
la variable dependiente.

Hay que verificar si al variables explicativas en el modelo aportan nueva información
o su aportación es pura redundancia. Además, verificar si añaden...