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C´lculo y m´todos num´ricos Tema 1: N´meros, sucesiones y series 1.1 N´meros
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C´lculo y m´todos num´ricos
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Tema 1: N´meros, sucesiones y series
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1.1 N´meros
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Departamento de Matem´ticas
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Escuela Superior de Ingenier´ Inform´tica
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UCLM, Albacete

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´Indice

1

N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y de orden de R
o
Propiedades algebraicas de (R, +, ·)
Axiomas de orden en R

El valor absoluto
Los n´meros naturales. Principio de inducci´n
u
o
Principio de inducci´n
o

Los n´meros enteros y racionales
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Los n´meros enteros
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Los n´meros racionales
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Los n´meros reales. El axioma de supremo
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N´meros.
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Objetivos

Estudio de los distintos conjuntos de n´meros y sus
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propiedades, desde los n´meros naturales hasta los reales.
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Principio de inducci´n.
o

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N´meros.
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Introducci´n.Propiedades algebraicas y de orden de R
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Introducci´n
o

En este curso utilizaremos el conjunto de n´meros reales, R.
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Sus propiedades, que son esenciales para el estudio de
sucesiones y funciones, se pueden dividir en tres grupos:
Propiedades algebraicas: estructura de cuerpo (suma, resta,
producto, cociente).
Propiedades de orden: existencia de un orden total. Buenarepresentaci´n gr´fica del sistema de n´meros.
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Otra propiedad m´s compleja: el axioma de supremo.
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N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y de orden de R
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Los n´meros reales
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Axiomas algebraicos

(R, +, ·) es un cuerpo (conmutativo con elemento neutro).
Propiedadesrespecto a la suma:
1. Conmutativa: a + b = b + a, ∀a, b ∈ R.
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R.
3. Elemento neutro: ∃0 ∈ R, tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R.
4. Elemento opuesto: dado a ∈ R, ∃ − a ∈ R tal que
a + (−a) = 0.

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N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y deorden de R
o

Los n´meros reales
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Axiomas algebraicos

(R, +, ·) es un cuerpo (conmutativo con elemento neutro).
Propiedades respecto al producto:
5. Conmutativa: a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.
6. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ R.
7. Elemento neutro: ∃1 ∈ R, tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
8. Elemento inverso para elementos no nulos:
dado a ∈ R, con a = 0, ∃a−1 ∈ R tal que a· a−1 = 1.

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N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y de orden de R
o

Los n´meros reales
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Axiomas algebraicos

(R, +, ·) es un cuerpo (conmutativo con elemento neutro).
9. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c,

∀a, b, c ∈R .

N´tese que estas mismas propiedades las cumple (Q, +, ·).
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N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y de orden de R
o

Los n´meros reales
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Algunas consecuencias de los axiomas algebraicos

Proposici´n
o
Si a, b, c son n´meros reales, entonces:
u
a · 0 = 0, ∀a ∈R.
a·b =0 ⇒ a=0 ´ b =0
o
Si a = 0 y a · b = a · c, entonces b = c.
Regla de los signos:

 −(−a) = a


(−a) + (−b) = −(a + b)
 (−a) · b = −(a · b) = a · (−b)


(−a) · (−b) = a · b

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N´meros.
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Introducci´n. Propiedades algebraicas y de orden de R
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Los n´meros reales...