Crisis en los fundamentos de la matemática
Páginas: 9 (2129 palabras)
Publicado: 22 de junio de 2014
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR
FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
Carrera: 4º Matemática
Período: 2º cuatrimestre
Temas: “Crisis en los fundamentos matemáticos en el siglo XIX”- “Estructuras algebraicas”
2013
La crisis actual de los fundamentos de la Matemática
Introducción
La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo pornumerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más refinados instrumentos de investigación.
En el período 1874-1895, G. Cantor provocó una nueva revolución en la ciencia matemática al crear su teoría de los conjuntos (Mengenlehre). Después de los trabajos de Cantor la teoría de losconjuntos ha venido a desempeñar el papel de disciplina matemática fundamental, sobre la cual se construye la Aritmética, el Análisis, la Geometría, la Topología. Pero esta radical innovación ha producido una nueva y profunda crisis filosófica en medio de la cual se debate aún nuestra ciencia, sin que sea posible predecir con certeza en qué dirección se logrará vencer las dificultades a que haconducido el riguroso análisis que se ha hecho en los últimos tiempos de las bases lógicas y epistemológicas de la Matemática.
El logicismo
Frege fue el primero en sostener que la Matemática es simplemente una parte de la Lógica y, por tanto, es susceptible de edificarse con procedimientos lógicos puros.
Russell, erigido en campeón del logicismo a partir de 1903, insiste en que la Lógica es másfundamental y debe anteceder a la Matemática. En su importante obra Principia Mathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que la Matemática es reducible a un pequeño número de conceptos y de principios lógicos fundamentales. Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso, que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad deun conjunto no debe formar parte del conjunto», [26] el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos conceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto (cuya definición exige la consideración de todos los elementos del conjunto). Para atenuar el alcance del principio del círculo vicioso, Russell introduce el llamado principio de reducibilidadLos logicistas, en su afán de aislar los elementos lógicos del razonamiento, crearon la lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial se traduce el discurso en fórmulas análogas a las matemáticas, las cuales ponen de relieve las estructuras lógicas.
La logística comprende: el cálculo de proposiciones, el cálculo de funciones proposicionales, el cálculo de clases y el cálculo de relaciones.Uno de los mayores méritos de la obra de Russell es haber dado forma definitiva al cálculo de relaciones, desempeña un destacado papel en el álgebra moderna y en otras ramas abstractas de la matemática actual en donde interesa principalmente el estudio de las relaciones y no la naturaleza de los entes relacionados.
El formalismo
Hilbert repudia el logicismo afirmando que la Matemática nopuede fundamentarse únicamente con los recursos de la Lógica. Hilbert propone un sistema en que la Matemática no aparece como posterior a la Lógica sino consideradas simultáneamente. Hilbert no se propone demostrar que la Matemática sea verdadera, sino consistente.
El método de Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos:
1) Axiomatización. Las propiedadesprimeras no se demuestran sino se postulan Los axiomas tienen un carácter puramente arbitrario o convencional
2) Formulación. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simbólico
3) Demostración de la compatibilidad de los axiomas. Permite decidir si el sistema construido es legítimo o si carece de sentido. Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemática o doctrina...
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR
FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA
Carrera: 4º Matemática
Período: 2º cuatrimestre
Temas: “Crisis en los fundamentos matemáticos en el siglo XIX”- “Estructuras algebraicas”
2013
La crisis actual de los fundamentos de la Matemática
Introducción
La Matemática, como todas las ciencias, ha pasado en su largo desarrollo pornumerosas crisis, las cuales ha podido superar felizmente, resurgiendo de cada una de ellas más sólida y pujante, y mostrando en su acervo metodológico nuevos y más refinados instrumentos de investigación.
En el período 1874-1895, G. Cantor provocó una nueva revolución en la ciencia matemática al crear su teoría de los conjuntos (Mengenlehre). Después de los trabajos de Cantor la teoría de losconjuntos ha venido a desempeñar el papel de disciplina matemática fundamental, sobre la cual se construye la Aritmética, el Análisis, la Geometría, la Topología. Pero esta radical innovación ha producido una nueva y profunda crisis filosófica en medio de la cual se debate aún nuestra ciencia, sin que sea posible predecir con certeza en qué dirección se logrará vencer las dificultades a que haconducido el riguroso análisis que se ha hecho en los últimos tiempos de las bases lógicas y epistemológicas de la Matemática.
El logicismo
Frege fue el primero en sostener que la Matemática es simplemente una parte de la Lógica y, por tanto, es susceptible de edificarse con procedimientos lógicos puros.
Russell, erigido en campeón del logicismo a partir de 1903, insiste en que la Lógica es másfundamental y debe anteceder a la Matemática. En su importante obra Principia Mathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que la Matemática es reducible a un pequeño número de conceptos y de principios lógicos fundamentales. Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso, que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad deun conjunto no debe formar parte del conjunto», [26] el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunos conceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto (cuya definición exige la consideración de todos los elementos del conjunto). Para atenuar el alcance del principio del círculo vicioso, Russell introduce el llamado principio de reducibilidadLos logicistas, en su afán de aislar los elementos lógicos del razonamiento, crearon la lógica simbólica. Mediante un simbolismo especial se traduce el discurso en fórmulas análogas a las matemáticas, las cuales ponen de relieve las estructuras lógicas.
La logística comprende: el cálculo de proposiciones, el cálculo de funciones proposicionales, el cálculo de clases y el cálculo de relaciones.Uno de los mayores méritos de la obra de Russell es haber dado forma definitiva al cálculo de relaciones, desempeña un destacado papel en el álgebra moderna y en otras ramas abstractas de la matemática actual en donde interesa principalmente el estudio de las relaciones y no la naturaleza de los entes relacionados.
El formalismo
Hilbert repudia el logicismo afirmando que la Matemática nopuede fundamentarse únicamente con los recursos de la Lógica. Hilbert propone un sistema en que la Matemática no aparece como posterior a la Lógica sino consideradas simultáneamente. Hilbert no se propone demostrar que la Matemática sea verdadera, sino consistente.
El método de Hilbert, llamado formalismo, comprende esencialmente los siguientes puntos:
1) Axiomatización. Las propiedadesprimeras no se demuestran sino se postulan Los axiomas tienen un carácter puramente arbitrario o convencional
2) Formulación. Los axiomas se expresan mediante el lenguaje simbólico
3) Demostración de la compatibilidad de los axiomas. Permite decidir si el sistema construido es legítimo o si carece de sentido. Para resolver el problema de la compatibilidad crea Hilbert la Metamatemática o doctrina...
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