Critografia

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DISQUISITIONES ARITHMETICAE.

Secci´n Primera o
DE

LA CONGRUENCIA DE LOS NUMEROS EN GENERAL

N´meros congruentes, m´dulos, residuos y no residuos. u o 1. Si un n´mero a divide la diferencia de los n´meros b y c, se dice que b y c u u son congruentes seg´n el m´dulo a; si no lo son, se dice que son incongruentes; el u o n´mero a se llama m´dulo. Ambos n´meros b y c, en el primer caso, sonllamados u o u uno residuo del otro y, en el segundo caso, no residuos. Tales nociones valen para todos los enteros, tanto positivos como negativos*), y no para las fracciones. Por ejemplo, −9 y +16 son congruentes seg´n el m´dulo 5; u o −7 es un residuo de +15 seg´n el m´dulo 11; pero no es un residuo seg´n el m´dulo u o u o 3. Dado que cada n´mero divide a cero, todo n´mero puede considerarsecongruente u u consigo mismo, seg´n cualquier m´dulo. u o

2. Todos los residuos de un n´mero dado, a, seg´n el m´dulo m est´n u u o a comprendidos en la f´rmula a + km, donde k es un n´mero entero indeterminado. o u Las proposiciones m´s f´ciles, a las cuales haremos referencia m´s adelante, pueden a a a demostrarse aqu´ sin dificultad alguna, y quienquiera podr´ comprobar su veracidad ı a conigual facilidad.
*) El m´dulo debe ser siempre tomado con el valor absoluto, a saber: sin ning´n signo. o u

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LA CONGRUENCIA DE LOS NUMEROS

Se˜alar´ la congruencia de los n´meros mediante este s´ n e u ımbolo ‘≡’ y, cuando sea necesario, pondr´ el m´dulo entre par´ntesis; por ejemplo, −16 ≡ 9 (mod. 5), e o e −7 ≡ 15 (mod. 11)*). 3. Teorema. Dados m n´meros enteros sucesivos u a, a + 1, a +2, . . . a + m − 1, y dado otro entero A, uno y s´lo uno de estos enteros ser´ congruente a A seg´n el o a u m´dulo m. o o o Si a−A es un entero, entonces a ≡ A; si a−A es una fracci´n, sea k el pr´ximo m m mayor entero positivo (y si es negativo, el pr´ximo menor, sin considerar el signo). o A + km, que estar´ entre a y a + m, ser´ el n´mero buscado. Es evidente que todos a a u a−A a+1−A a+2−A alos cocientes m , m , y m , etc. est´n ubicados entre k − 1 y k + 1; por lo que solo uno de ellos puede ser entero.

Residuos m´nimos. ı 4. As´ pues, cada n´mero tendr´ un residuo, tanto en la sucesi´n 0, 1, 2, . . . m−1, ı, u a o como en 0, −1, −2, . . . −(m − 1) a los que llamamos residuos m´nimos. Es evidente ı que, a no ser que 0 sea un residuo, siempre se presentan en pares: uno positivo yel otro negativo. Si son diferentes en magnitud, uno ser´ < m ; de otro modo, cada a 2 m u uno ser´ = 2 sin considerar signos. De donde es evidente que cada n´mero tiene un a residuo no mayor que la mitad del m´dulo, al que se llamar´ residuo absolutamente o a m´nimo. ı Por ejemplo: −13 tiene, seg´n el m´dulo 5, un residuo m´ u o ınimo positivo que es un residuo absolutamente m´ ınimo; −3 es elresiduo m´ ınimo negativo; +5 es residuo m´ ınimo positivo de s´ mismo, seg´n el m´dulo 7; −2 es el residuo m´ ı u o ınimo negativo, y a la vez, absolutamente m´ ınimo.
*) Adoptamos este s´ ımbolo por la gran analog´ que se encuentra entre la igualdad y la ıa congruencia. Por la misma raz´n, el ilustre Legendre, en su tratado, us´ el mismo s´ o o ımbolo para la igualdad y la congruencia, lo quenosotros dudamos en imitar para que no se originara ninguna ambig¨edad. u

EN GENERAL.

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Proposiciones elementales sobre congruencias. 5. Establecidos estos conceptos, reflexionemos sobre las propiedades de los n´meros congruentes que son inmediatamente obvias. u Los n´meros congruentes, seg´n un m´dulo compuesto, tambi´n ser´n conu u o e a gruentes seg´n cualquier factor de este m´dulo. u oSi varios n´meros son congruentes a un mismo n´mero seg´n un mismo u u u m´dulo, ser´n congruentes entre s´ (seg´n el mismo m´dulo). o a ı u o Esta identidad de m´dulos se debe sobreentender, tambi´n, en lo siguiente: o e Los n´meros congruentes poseen los mismos residuos m´nimos; los n´meros u ı u no congruentes poseen diferentes residuos m´ ınimos.

6. u u Si se tienen los n´meros A, B, C,...
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