Cronologia

Guía de Trabajo Nº 2

Funciones y Procesos Infinitos

Sumatorias:

1. Concepto de sumatoria:

A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión,considerándolos como sumandos.
Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los términos en forma abreviada, mediante el signo (, acompañado de la fórmula o término general que define ala sucesión y del rango de valores que tomará la variable considerada en esa fórmula.
Se denomina sumatoria de una sucesión [pic], a la forma abreviada de escribir sus términos expresados comosumandos:
Se denota:

[pic]

Ejemplos:

1+2+3+...+ n=[pic]
12 +22+32+...+n2 =[pic]
[pic]

2. Propiedades de las sumatorias:

Sumatoria de una constante:

Si c1=c2=c3=...=cn=c, constante,entonces: [pic]

Ejemplo:

[pic]
50 veces

Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión:

Si c es una constante, entonces: [pic]

Ejemplo:

[pic]

Sumatoria deuna suma o resta de términos de dos o más sucesiones:

Si [pic] y [pic] son sucesiones, entonces se cumple que:
[pic]

Ejemplo: [pic]

Propiedad Telescópica de las sucesiones:

El desarrollode algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan quedando estas reducidas a sólo dos términos. Esta propiedad se denomina Propiedad telescópica de lassumatorias.
Observemos el siguiente caso:

[pic]

Luego:
[pic]

Con el mismo razonamiento se tiene:
[pic]

La Propiedad Telescópica también es válida para la suma de los recíprocos:

[pic]

[pic]La propiedad Telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita calcular directamente el valor de alguna sumatoria o para demostrar si una sumatoria es igual a una expresión ofórmula dada, como por ejemplo:

Calculemos una fórmula para:
[pic]

Si expresamos el numerador de la fracción como: (1+k-k), tenemos:

[pic]

Aplicando la propiedad telescópica:

[pic]...