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Ejercicios Propuestos

Ejercicios 1 a 5. Determine si las siguientes matrices son regulares (inversibles o no singulares). Si lo son, calcule su inversa por el método que desee. Verifique en cada caso, si A – 1 existe, que A . A – 1 = I.


1) A = 2) A = 3) A =




4) A = 5) A =


Ejercicios 6 a 12. Resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales AX = B así:a) Si la matriz A de los coeficientes del sistema es no singular, despeje la X, utilizando la fórmula
X= A – 1 B.
b) Si la matriz A de los coeficientes del sistema es singular, determine por cualquier otro método si el sistema no tiene solución o si tiene infinitas soluciones.
c) Si el sistema tiene infinitas soluciones, dé una fórmula general para el conjunto de las soluciones ycalcule 3 soluciones particulares.

6) 7) 8) 9)


10) 11) 12)



Aclaración: Si en uno de los problemas, al eliminar, digamos la x, en la segunda ecuación, llega a una forma, como sería el caso de ejemplo siguiente:

2x + 3y = 2

0x + 0y = 0,

El sistema tendría infinitas soluciones, para las cuales, despejando la x en la primera ecuación

(*) x =-(3/2) y + 1,
la cual sería la solución general.

Cada solución particular se puede hallar dando valores a la y, calculando el correspondiente valor de x, a partir de (*), así:

1. y = 0  x = 1. Solución particular: x = 1, y = 0
2. y = 1  x = -1/2 Solución particular: x = -1/2, y = 1
3. y = -2/3  x = 2 Solución particular: x = 2, y = -2/3
4. y =2/3  x = 0 Solución particular: x = 0, y = 2/3

y hemos hallado 4 soluciones particulares a partir de la solución general (*).


13. Demuestre que si la matriz A es no singular, se cumple la siguiente ley cancelativa a derecha. Es decir que si

CA = DA, entonces C = D

14. Demuestre que si la matriz A es no singular y A2 - AB = 0, entonces A = B.

15. a)Demuestre que una matriz cuadrada

a11 a12
A = es no singular, sí y sólo si
a21 a22

 = a11 a22 - a21 a12  0

y que en ese caso:

a22 - a12
A-1 = (1/)
-a21 a11

A  se le denomina, el determinante de A.

b) Señale si las siguientes matrices son no singulares. Halle la matriz inversa de cadauna de las matrices no singulares.

i) 1 1 ii) -1 3 iii) 2 1 iv) 1 -3
1 2 2 -6 -1 1 2 2

Miscelánea de ejercicios

1) Demuestre que si

a) ( A+B)2 = A2 + 2AB + B2, entonces A y B conmutan.

b) Halle dos matrices A y B de orden 2 tales que

( A+B)2 A2 + 2AB + B2

2) a) Demuestre que si A y B son dos matrices tales que (AB) -1=A -1 B -1, entonces A y B conmutan. Es decir que AB = BA.

b) Halle dos matrices no singulares de orden 2, tales que
(AB) -1  A -1 B -1

3) a) Demuestre que si (AB)T = A T B T , entonces A y B conmutan.

b) Halle dos matrices A y B de orden 4 tales que (AB)T  A T B T

4) Demuestreque si

a11 0 0
A = 0 a22 0
0 0 a33

entonces, A es no singular si y sólo si aii  0 ( i = 1,2,3 ).

Demuestre además que si A es no singular, entonces

1/a11 0 0
A -1 = 0 1/a22 0
0 0 1/a33

5) a) Demuestre utilizando las propiedades de las operaciones entre matrices que

B(B -1A +C) A -1 = I + BCA -1 .

b) Calcule B(B -1A + C) A -1, utilizando el lado derecho de la igualdad anterior, para no calcular B -1.

6) Demuestre que A + 2 (A + 3B) = 3A + 6B.

7) Utilizando el hecho de que A n = AA ... n veces...A, demuestre que:

i) A p+q = A p A q = A q A p

ii) ( A p ) q = A pq

8)
a) Demuestre que para toda matriz A, -A = (-1) A...