Desigualdades Racionales

Objetivo:
 Identificar y resolver los diferentes tipos de desigualdades racionales.
 Aplicar las desigualdades a problemas de la vida real.
DESIGUALDADES RACIONALES
Son inecuacionesracionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador
son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Estos tipos
de problemas pueden ser resueltos usando elmétodo analítico o el método gráfico.
Teorema. Signo de una expresión racional.
La expresión racional P/Q donde P y Q son polinomios distintos de cero, tendrá un signo
constante (ya sea siempre positivoo negativo) dentro de cada intervalo determinado por
las raíces reales de P y Q. Si ni P ni Q tienen raíces reales entonces P/Q es positiva en toda
la recta o negativa en toda la recta.
El procesopara resolver las desigualdades racionales es similar al mencionado para las
desigualdades polinomiales, solamente que los intervalos se dividen de acuerdo a las
raíces de P y de Q.

1

Ejemplo1. Dada la siguiente desigualdad racional encontrar el conjunto solución y
graficar.

Factorizar los polinomios dados

Las raíces que anulan el numerador son x = −5 y x = 2, y las que anulan eldenominador son
x = −2 y x =1, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x
en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad

Se observa en elcuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos
donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original < 0 (es negativa) por lo
tanto la solución viene dada por:Conjunto solución [−5, −2] U [1,2]
Gráficamente:

2

Ejemplo2. Encontrar el conjunto solución y graficar la siguiente inecuación racional

−

>0

Solución. Se determina el intervalo que cumplelos valores de x luego sacar raíces
3x-2=0
3x=2
X=2/3

x+3=0
x=-3

Ahora se construye la tabla de variación:

INTERVALOS

(-∞,-3)

(-3, 2/3)

(2/3 , ∞)

(3x-2)

-

-

+...