Cuad Mat Aplicadas 1

ANÁLISIS DE FUNCIONES.
I.1. INTRODUCCIÓN.
En todos los campos de las ciencias, la mejor forma de representar las funciones es por medio de gráficas. Si se adquiere habilidad para su interpretación, esto será de gran utilidad en casi cualquier actividad. Las propiedades que se deben considerar en estas curvas son:
Simetría.
Campo de variación ( Dominio y rango ).
Intersección con los ejes.Máximos, mínimos, inflexión y concavidad.
(1) Simetría. Una curva es simétrica con respecto a:
(a) El eje “x”, si su ecuación no varía al cambiar “y” por “- y”
(b) El eje “y”, si su ecuación no varía al cambiar “x” por “- x”
(c) El origen, si su ecuación no varía al cambiar “x” por “- x” y “y” por “- y”
(2) Campo de variación ( Dominio y rango ).El campo de variación horizontal es el de la variable “x”( dominio ), el campo de variación vertical es el de la función “y” ( contradominio o rango ). Un punto ( x0, y0 ) recibe el nombre de punto aislado de la curva si sus coordenadas satisfacen la ecuación de ésta.
(3) Intersección con los ejes. Deben localizarse los puntos de corte con los ejes coordenados, si los hay. Con el eje “x”, despejando x en la ecuación “y = 0 “. Con el eje “y”,despejando y en la ecuación “ x = 0 “.
(4) Primera derivada ( f  ) :
Máximos y mínimos (primer método).
Función creciente si f  ( x ) es positiva, ( pendiente positiva, ángulo agudo ).
Función decreciente si f  (x) es negativa, (pendiente negativa, ángulo obtuso).
(5) Segunda derivada ( f   ) :
Máximos y mínimos. (Segundo método).
Puntos de inflexión.
Función cóncava si su f   ( x ) espositiva.
Función convexa si su f   ( x ) es negativa.
I.2. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
(1) Función creciente.- Una función es creciente si “y” [ f(x) ] aumenta cuando “x” aumenta. Su derivada es positiva.
(2) Función decreciente.- Una función es decreciente si “y” disminuye cuando “x” aumente. Su derivada es negativa.
I.3. MÁXIMOS Y MINIMOS.
(1) Primer método para calcularmáximos y mínimos.- En la aplicación de este método, se recomiendan los pasos siguientes:
I. Se encuentra la primera derivada.
II. Se iguala la primera derivada a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces serán los valores críticos de la variable.
III. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar paraun valor un poco menor ( mayor que cualquier valor crítico menor al que se analiza ) que el valor crítico y después para un valor un poco mayor. Si el signo de la derivada es primeramente + y después – , la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable; en caso contrario, tiene un mínimo. Si no hay cambio de signo, no hay máximo ni mínimo para ese valor crítico.
(2) Segundométodo para determinar máximos y mínimos.- Se recomiendan los pasos siguientes en el cálculo de máximos y mínimos con este método:
I. Calcular la primera derivada de la función.
II. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable.
III. Determinar la segunda derivada.
IV. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cadauno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico considerado; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.
Si f  (x) = 0; se aplica el primer método, puesto que puede existir un máximo o mínimo para el valor crítico respectivo.
I.4. CONCAVIDAD DE UNA CURVA
Concavidad de una curva.-El criterio para determinar elsentido de la concavidad de una curva en un punto es: La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva; es cóncava hacia abajo (convexo) si esta derivada es negativa.
I.5. PUNTOS DE INFLEXIÓN
(1) Definición.- Un punto de inflexión en una curva es el punto en el cual la curva pasa de cóncava a convexa o viceversa. Es el punto que separa...