Mate aplicada

´ ´ Problemas de Ampliacion de Matematicas. Primero de Farmacia Hoja 4: Conceptos de probabilidad, distribuciones discretas y cont´ ınuas binomial y normal 1. Considere la variable aleatoria X definida como el n´mero de ni˜as que nacer´n si se tienen u n a seis beb´s, cuya distribuci´n de probabilidad se indica en la siguiente tabla: e o x p(X = x) 0 0.02 1 0.09 2 0.23 3 0.32 4 0.23 5 0.09 6 0.02(a) Dibujar una gr´fica de la funci´n de distribuci´n de probabilidad de X. a o o (b) ¿Qu´ probabilidad hay de que un matrimonio tenga menos de dos ni˜as? e n (c) ¿C´al es la probabilidad del evento contrario o complementario al definido en el u apartado anterior? (d) Calcular el valor medio y la desviaci´n est´ndar de X. o a 2. Tenemos 5 bolas en una caja, tres de ellas son rojas y dos de ellasnegras. Se extraen tres sucesivamente, reponiendo nuevamente la bola extra´ en la caja despu´s de verla. ıda e Calcular la probabilidad de obtener 0, 1, 2 ´ 3 bolas rojas al realizar la experiencia. o 3. Se sabe que en una determinada comunidad es “normal” que el 10% de la poblaci´n padezca o gripe en un mismo momento, durante el invierno. Se pregunta: (a) Si se toma un individuo al azar, ¿qu´probabilidad hay de que tenga gripe? ¿cu´l de e a que no la padezca? (b) Si se eligen dos individuos al azar, ¿qu´ probabilidad hay de que ambos tengan gripe? e (considerar que los eventos son independientes). (c) Si se toma una muestra de cinco individuos, indique que probabilidad existe de que en dicha muestra halla tres enfermos de gripe. (d) ¿C´mo utilizar´ los datos que le proporciona ladistribuci´n binomial para determinar o ıa o si existe un principio de epidemia o situaci´n no normal de la gripe en la comunidad? o 4. La probabilidad de encontrar un individuo arteroescler´tico en una poblaci´n muy grande o o es p = 0.042 Nos interesamos en el n´mero de sujetos con arteroesclerosis que pueden u encontrarse al extraer muestras de manera aleatoria (al ser la poblacion muy grande sucomposici´n no queda afectada por la extracci´n de una muestra). o o (a) Si se extraen muestras de 10 sujetos. ¿Qu´ tipo de distribuci´n de probabilidad posee e o la variable ”n´mero de sujetos enfermos en la muestra”? ¿Cu´l es el valor medio y la u a desviaci´n estandar de esta variable? o (b) ¿Cu´l es la probabilidad de que en la muestra existan cinco sujetos con la enfermedad? a (c) ¿Es esperableque en la muestra no haya ning´n individuo enfermo? u (d) ¿Cu´l es el valor de probabilidad de que en la muestra existan entre uno y tres a individuos enfermos? ¯ 5. Si Z tiene una distribuci´n normal est´ndar (valor medio X = 0 y desviaci´n est´ndar o a o a σ = 1.0) obtener: (a) P (Z > 1.64) (b) P (Z < −1.64) (c) P (1.0 < Z < 1.5) (d) P (−1 < Z < 2) (e) P (−2 < Z < 2)

¯ 6. Si X tiene unadistribuci´n normal con valor medio Z = 2.0 y desviaci´n est´ndar σ = 0.5, o o a obtener : (a) P (X > 3.5) (b) P (X < 1.5) (c) P (1.0 < X < 3.0)

7. La media de las alturas de 500 estudiantes de un cierto colegio es de 151 cm y su desviaci´n o t´ ıpica es de 15cm. Si se supone que las alturas siguen una distribuci´n normal, obtener: o (a) El n´mero de alumnos que miden m´s de 185 cm. u a (b) ¿Qu´proporci´n de sujetos mide entre 120 y 155 cm.? e o (c) ¿Qu´ altura es rebasada por el 5% de los alumnos? e 8. La tabla siguiente reproduce la descripci´n estad´ o ıstica del colesterol total de una muestra de 1810 personas adultas. Colesterol(g/l) 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 N de casos 10 12 25 28 55 57 122 123 211 209 Colesterol(g/l) 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 N de casos 225232 136 142 68 67 34 34 16 4

Para contestar las siguientes preguntas suponer que la variable gramos de colesterol por litro de sangre posee una distribuci´n normal, con un valor medio µ = 2.172 y una desviaci´n o o est´ndar σ = 0.347 g/l. Tambi´n considerar el error con el que se realiz´ la medida; a e o suponga que la precisi´n de la medida es de ± 0.05 g/l, esto quiere decir, por ejemplo,...