Cuadrados Mágicos

CUADRADOS MÁGICOS

Mg. Aurelio Gámez Torres

En los tiempos de las culturas antiguas la razón principal del desarrollo de la Matemática era ayudar a resolver problemas concretos en el comercio, la arquitectura, la astronomía, la navegación, etc. los matemáticos además dedicaron gran parte de su tiempo a la búsqueda de lo que ahora podríamos llamar curiosidades numéricas, los númerosperfectos, los números amigos, los cálculos con resultados que tienen características peculiares, etc., fueron temas que aún en la actualidad asombran por su belleza y armonía.

Uno de los temas más antiguos es sin duda el de los cuadrados mágicos. Pero ¿qué son estos cuadrados y por qué son mágicos? Un cuadrado mágico (CM) es aquel cuyas sumas de los números ubicados en sus filas, columnas ydiagonales son iguales a un número llamado constante mágica.

Se afirma que los chinos hace más de 4000 años inventaron los primeros CM. En particular, se sostiene que el cuadrado de orden 3 fue creado por el emperador Yu el Grande. Por su parte, los hindúes investigaron los CM hace más de 2000 años. En la época medieval, los cuadrados mágicos fueron usados como amuletos para protegerse contra losdemonios y atraer la suerte.
Uno de los CM más famosos es el de orden 4. Fue creado por los chinos hace más de 3000 años y que por coincidencia se encuentra como un grabado en alto relieve de una pared en el cuadro Melancolía del artista alemán Alberto Durero, que data del siglo XVI. Este CM es el siguiente :

La construcción de los CM parecería no estar sujeta a reglas, sin embargo, se hanencontrado en fuentes antiguas procedimientos para elaborar algunos.

Por ejemplo, el problema para hallar el CM de orden 3, puede ser planteado como buscar la ubicación de los números 1,2,3,4,5,6,7,8 y,9, en los casilleros del cuadrado (figura 2), de tal manera que la suma de los números de las filas, columnas y diagonales sea una constante; en otras palabras que las sumas sean iguales. Mediantela técnica del tanteo se podría lograr después de un trabajo simple, pero que la mayoría requiere en promedio de 4 minutos a más, de buscar en todas las posibilidades que verifiquen las condiciones pedidas. Si el problema se plantea para un cuadrado de orden 5, la posibilidad de hallarlo se complica, puesto que la cantidad de combinaciones aumenta, y sería necesario trabajar muchas horas o quizásdías para lograrlo.
Pero veamos qué nos dejaron los matemáticos antiguos y presentemos los procedimientos a seguir para rellenar los casilleros de lo que será un CM de orden impar :
Regla 1.- Se coloca el número 1 en el casillero medio de la primera fila.
Regla 2.- Se «avanza» en forma consecutiva y en dirección «diagonal derecha» o noreste.
Regla 3.- Si un número «sale por arriba» delcuadrado, se lo introduce al casillero opuesto dentro del cuadrado, en la misma columna.
Regla 4.- Si un número se «sale por la derecha» se lo introduce en el casillero opuesto, en la misma fila.
Regla 5.- El casillero externo del vértice derecho superior se considera «ocupado».
Regla 6.- Si se desea avanzar y se encuentra que el casillero destino está ocupado, se hace una excepción a la regla 2, ladirección de avance se modifica y será un casillero hada abajo.

Aplicando las reglas se tiene :





































Se podrá obtener el cuadrado mágico que hace más de 4000 años inventó Yu el Grande. Puede verificarse que la suma de sus filas, columnas y diagonales es 15.


Respecto de los CM de orden, par sólo se hanencontrado procedimientos para los de orden múltiplos de 4. Por ejemplo, construyamos el de orden 4.


En el cuadrado hay que ubicar entonces los números 1,2,3,4,...,16, en forma correlativa, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, luego se trazan las diagonales, las que «borran» los números de los casilleros por donde pasan. Los casilleros que quedan vacíos serán llenados por los...