Cuadrados

Cuadrados latinos y grecolatinos

Un cuadrado latino de lado n contine en cada fila una y una sola vez los números del 1 al n, de forma que en ningún caso se repite el mismo número en una columna. Por ejemplo, estos dos:

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 3 4 5 1 3 4 5 1 2
3 4 5 1 2 5 1 2 3 4
4 5 1 2 3 2 3 4 5 1
5 1 2 3 4 4 5 1 2 3

Se llama además cuadrado latino diagonal aquél enque tampoco las diagonales registran repeticiones, como en el segundo.
Un cuadrado grecolatino es más exigente. Está formado por parejas de objetos o números de forma que la formación constituida por los primeros elementos de cada par formen un cuadrado latino, y también la formada por los segundos elementos.

00 47 18 76 29 93 85 34 61 52
86 11 57 28 70 39 94 45 02 63
95 80 22 67 38 71 49 5613 04
59 96 81 33 07 48 72 60 24 15
73 69 90 82 44 17 58 01 35 26
68 74 09 91 83 55 27 12 46 30
37 08 75 19 92 84 66 23 50 41
14 25 36 40 51 62 03 77 88 99
21 32 43 54 65 06 10 89 97 78
42 53 64 05 16 20 31 98 79 87

Los cuadrados grecolatinos están relacionados con una conjetura de Euler, que resultó fallida, lo que es muy raro en el ilustre matemático. Observando que no existencuadrados de ese tipo de segundo ni de sexto orden, Euler extendió esa imposibilidad a los de orden 4n + 2. Sin embargo, por vía computacional se han hallado cuadrados grecolatinos de grado 10 (como el anterior), 14, etc.

JMAiO, BCN, feb 07

Un cuadrado grecolatino de orden n es una cuadrícula nxn, en la que han de colocarse las nxn parejas:
A1, A2, A3,.....,An
B1, B2, B3,.....,Bn
C1, C2,C3,....,Cn
...........................
...........................
De modo en que en cada fila y en cada columna no haya ni dos letras repetidas, ni dos números repetidos
El de orden 1 es trivial. El de orden 2 es imposible, pero ¿y los de orden 3, 4, 5, 6, 7?
Alguna sorpresa te aguarda.

Diseño en Cuadrado Grecolatino
La eliminación de tres fuentes extrañas de variabilidad puedelograrse mediante el diseño de Cuadro Grecolatino. En un diseño consistente en un arreglo cuadrado de n letras latinas y n letras griegas; más exactamente, cada letra latina aparece sólo una vez al lado de cada letra griega:
A  B C D
B A D C
C D A B
D C B A
También se los llama “Cuadros Grecolatinos Ortogonales”. Como ejemplo, suponer el caso de las soldaduras, latemperatura es otra fuente de variabilidad. Si tres temperaturas de soldado, denotadas  , yse utilizan junto con los tres métodos, los tres operadores (renglones) y tres fundentes (columnas), la repetición de un experimento apropiado de Cuadro Grecolatino puede establecerse así:
Fundente 1 Fundente 2 Fundente 3
Operador 1 A  B C
Operador 2 C AB
Operador 3 B C A

Así pues, el Método A sería utilizado por el Operador 1, usando fundente 1, a la temperatura , por el Operador 2, usando fundente 2, a la temperatura  y por el Operador 3, usando fundente 3, a la temperatura .
En un Cuadro Grecolatino, cada variable (representada por renglones, columnas, letras latinas o letras griegas) está “distribuida equitativamente” respecto alas otras variables.
Si se aumenta el número de factores-bloque, la extensión del cuadrado latino es el greco-latino, que permite con K2 observaciones estudiar cuatro factores de K niveles sin interacciones (un factor-tratamiento y tres factores bloque), si se utilizase el diseño completo es necesario utilizar K4 observaciones. En el diseño en cuadrado greco-latino se superponen dos cuadradoslatinos, resultando el siguiente modelo matemático:
El inconveniente de este modelo es que su utilización es muy restrictiva. Además pueden no existir cuadrados latinos de determinadas condiciones.

Sea $ A = (a_ {ij}) $ y $ B = (b_ {ij}) $ $ de dos n \ n veces $ matrices . Se define su unión como la matriz cuyas $ (i, j) ª entrada de $ es el par $ (a_ {ij} b_ {ij}) $.
Un cuadrado...