cuadros magicos

Cuadrados mágicos
¿Qué es un cuadrado mágico?
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente suelen colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se ledenomina orden del cuadrado mágico.
Historia
Ya en la antigua China, sobre el tercer milenio a.C., se conocían los cuadrados mágicos. También los indios, los egipcios, los árabes y los griegos tuvieron constancia de su existencia. En todas estas civilizaciones generalmente se le atribuían a estos cuadrados propiedades místicas.
La entrada de estos objetos en Europa se sitúa sobre el siglo XIV. Sus curiosase interesnates características atrajeron la atención de muchos matemáticos importantes como Fermat, Pascal, Leibnitz, Euler…
El cuadrado mágico más pequeño
La composición de cuadrados mágicos es un entretenimiento matemático muy antiguo y aún hoy muy extendido. EL problema consiste en buscar una disposición tal de los números sucesivos (empezando por el 1), en las casillas de un cuadradocuadriculado, que las sumas de los números en todas las filas y columnas y siguiendo las dos diagonales del cuadrado sean iguales.
El cuadrado mágico más pequeño es el de 9 casillas; es fácil convencerse, haciendo la prueba, de que es imposible la existencia de un cuadrado mágico de cuatro casillas. He aquí una muestra de cuadrado mágico de 9 casillas:
 

Si sumamos en este cuadrado los números 4 +3 + 8, ó 2 + 7 + 6, ó 3 + 5 + 7, ó 4 + 5 + 6, o cualquier otra fila, columna o diagonal, en todos los casos obtendremos la misma suma, 15. Este resultado puede preverse antes de componer el propio cuadrado, porque las tres filas del cuadrado, la superior, la de en medio y la inferior, deben contener todos sus 9 números, que en conjunto dan la suma:
 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
 Por otra parte, esta suma deberá ser igual, evidentemente, al triplo de la suma de una fila. De aquí se deduce que cada fila debe sumar:
 
45 : 3 = 15.
 
De un modo semejante se puede determinar a priori la suma de los números de una fila o columna de cualquier cuadrado mágico, cualquiera que sea el número de casillas de que conste. Para esto hay que dividir la suma de todos los números delcuadrado por el número de sus filas.

Rotaciones y reflexiones
Una vez compuesto un cuadrado       mágico, es fácil obtener sus variantes, es decir, hallar una serie de nuevos cuadrados mágicos.
 

Figura 254
 
 Por ejemplo, si se ha compuesto el cuadrado de la fig. 254, haciéndolo girar mentalmente un cuarto de vuelta completa (es decir, 90°), se obtiene otro cuadrado mágico (fig. 255):
 Figura 255
 
Los sucesivos giros, de 180° (media vuelta completa) y de 270° (tres cuartos de vuelta completa), dan otras dos variantes del cuadrado inicial.
Cada uno de los nuevos cuadrados mágicos obtenidos puede a su vez modificarse, si nos lo figuramos como si viéramos su imagen reflejada en un espejo.
 


Figura 256
 
En la fig. 256 se muestra el cuadrado inicial y una de susimágenes especulares.
Sometiendo un cuadrado de 9 casillas a todas las rotaciones y reflexiones, obtenemos las siguientes modificaciones o variantes suyas (fig. 257):
 

Figura 257
 
 

Figura 257 bis
 
Esta es la colección completa de todos los cuadrados mágicos que pueden formarse con los nueve primeros números.
 
EL procedimiento de Bachet
Vamos a dar a conocer un viejo procedimiento decomponer cuadrados mágicos impares, es decir, cuadrados con cualquier número impar       de casillas: 3 * 3; 5 * 5; 7 * 7, etc. Este procedimiento fue propuesto en el siglo XVII por el matemático francés Bachet. Como el procedimiento de Bachet sirve, entre otras cosas, para el cuadrado de 9 casillas, resulta conveniente empezar su descripción por este ejemplo, por ser más simple. Así, pues,...