Cuanti 1

Cuantificadores
En esta clase trataremos:
 Proposiciones abiertas
 Cuantificador Universal
 Cuantificador Existencial
 Negación de cuantificadores

Proposiciones
Considera los siguientes enunciados:
a) “ X es un profesor de matemáticas”
b) “Paolo es un profesor de matemáticas”.
c) “ X es un divisor de 8”
d) “X es un divisor de Y”.
e) “2 es un divisor de Y”.
f) “3 es un divisor de 8”.


¿Quédiferencias observas entre unas y otras?
 ¿Cuáles son proposiciones?

Se¿Se
dan te
enunciados
que no son
proposiciones
pero que
ocurre alguna
manera
de convertir
enpueden
convertirse
en proposiciones
si se
un valor
proposiciones
las que no
loda
son?
... a las variables


X ó Y.

Proposiciones abiertas


Una proposición abierta es un enunciado declarativo
que depende de una o más variablesdentro de un
universo de discurso, de modo que se convierte
en una proposición para cada valor o reemplazo de
la variable.

Ejemplo:

Supongamos que el universo de discurso está formado por los
números naturales. Son proposiciones abiertas:


P(X): “ X es un divisor de 8”

Observa P(2) es cierta, P(5) es falsa, P(32) es falsa.


Q(X,Y): “X es un divisor de Y”.
Q(2,5) es falsa pero

Q(5, 100) esverdadera.

Ejercicio
Decide cuáles enunciados son proposiciones
abiertas y propón un universo de discurso.
a) (2n+3)2 es un número impar.
b) 1 + 3 = 5
c) Existe un x tal que x < .
d) x es un número real.


Observa bien la forma del enunciado en c)
Piensa, antes de responder.
Respuestas:
a) Es proposición abierta.
c) Es proposición.

b) Es proposición.
d) Es proposición abierta.Cuantificadores
Las expresiones
“Existe un x”,
“Para algún x”,
“Para cualquier x”,
x
x
x
“Para todo x”,
cuantifican las proposiciones
x
abiertas, lo que hace posible asignarles un valor
de verdad, convirtiéndolas en proposiciones.
Son proposiciones cuantificadas
“ Para alguna x se cumple P(x)”
“ Para algunos x y algunos y,
y se verifica Q(x,y)”
“ Para todo x se satisface R(x)”.
 

Como se observa en lasproposiciones anteriores hay
dos tipos de cuantificadores.
¿Puedes
distinguirlos?

Cuantificadores
El cuantificador existencial,
“Para algún x se verifica p(x)”
“Existe x tal que se cumple p(x)”
“Para al menos un x se satisface p(x)”
 son proposiciones que se escriben como “ x p(x) ”


El cuantificador universal,
“Para todo x se verifica p(x)”
“Para cualquier x tal que se cumple p(x)”
“Para cada x sesatisface p(x)”
 son proposiciones que se escriben como “ x p(x) ”


Cuantificadores
Ejemplo:
Escribe simbólicamente las proposiciones:
r: “Para cada entero n, si n es par entonces n 2 + 19 es
primo”
s: “ Existe un número real x tal que x/(x 2 + 1) = 2/5”
 

a) Universo: los números enteros,
p(n): “ n es par”
y
q(n): “n2 + 19 es primo”
r:

 n [p(n)  q(n)]

b) Universo: los números reales,t(x): “ x/(x2 + 1) = 2/5 ”
s:

 x t(x)

Observa: Es importante especificar el Universo de
discurso.
Prof. Lida Niño

Cuantificadores
Ejercicio 2:
En el Universo es los números reales, considere las
proposiciones abiertas p(x): “ x > 2”,
2 q(x): “ x2 > 4”
4
Expresa en lenguaje coloquial y decide el valor de verdad
de las siguientes proposiciones.
a) x p(x)
b) x [p(x)  q(x)]
c) x [q(x)  p(x)]
a)“Todos los números reales son mayores a 2”
b) “ Todo número real mayor que 2 tiene cuadrado mayor a 4”
c) “Cualquier número real con cuadrado mayor a 4 es mayor que 2”

Ejercicio
Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones y
decida el valor de verdad de las mismas.
 p: “Todo número real mayor que 2 tiene un cuadrado mayor
que él mismo”
 q: “Algunos números reales con cuadrado mayorque 4 son
menores que 2”
r : “Cualquier número satisface x2 - x  0 o no es mayor que 2”
Toma unos minutos … observa que
en “r” hace falta el universo de
discurso …
¿Qué ocurre si U está formado por
los números reales? ¿Y si a U lo
forman los enteros?

Veracidad y falsedad


Con cuantificador existencial:  x p(x)
“ Existe un número real con cuadrado mayor a 12”
  - Es verdadera pues se...