Cuantos sets se pueden armar?

Introducción

Intentando buscar un tema para mi investigación matemática decidí concentrarme en juegos virtuales que están relacionados con la matemática. Sin embargo, después de varios intentos fallidos, se me recomendó investigar sobre un juego de mesa conocido como “set”. Al principio estaba escéptico de este juego y de si podía presentar un problema que me interesara. Sorprendentemente,la simplicidad de este juego me atrajo lo suficiente como crear una adicción dentro de mí. Antes de que me diera cuenta estaba jugando largas horas a este juego – aunque sea un juego de más de un jugador existen versiones virtuales en las cuales se puede jugar en solitario. De esta manera surgieron varias dudas sobre el juego, una de las cuales será el problema de mi investigación matemática.¿Qué es “Set” y cómo se juega?

El juego “Set” creado en 1974 por Marsha Falco es un juego de cartas cuyo mazo consiste de 81 cartas que varían en cuatro características: número (uno, dos, o tres); símbolo (diamante, garabato, oval); sombreado (rellenado, a rayas, o abierto); y color (rojo, verde o púrpura).


El objetivo del juego es combinar tres cartas para formar un “set”. Las trescartas deben cumplir con estas cuatro condiciones simultáneamente:
•Todas ellas tienen el mismo número, o tienen tres números diferentes.
•Todas ellas tienen el mismo símbolo, o tienen tres símbolos diferentes.
•Todas ellas tienen el mismo sombreado, o tienen tres matices diferentes.
•Todas ellas tienen el mismo color, o tienen tres colores diferentes.
Por ejemplo, estas tres cartas forman un“set”:


Carta 1 Carta 2 Carta 3

Característica
Carta 1
Carta 2
Carta 3
Distinto/Igual
Color
Verde
Púrpura
Rojo
Distinto
Número
1
2
3
Distinto
Sombreado
Abierto
Rayado
Rellenado
Distinto
Símbolo
Diamante
Garabato
Oval
Distinto

En este caso al tener las tres cartas tienen números, símbolos, matices y colores diferentes, se puede formar un“set” con estas cartas. Si se cambiara al menos una de las características de una de las cartas, por ejemplo que la carta 1 sea un diamante abierto rojo, este conjunto de cartas dejaría ser un set. Es decir que las cartas deben compartir las mismas características o ser diferentes unas de las otras.
Si todavía no se entiende qué es un set, este ejemplo tal vez aclarará mejor que cartas forman unset:

Carta 1 Carta 2 Carta 3
Característica
Carta 1
Carta 2
Carta 3
Distinto/Igual
Color
Rojo
Rojo
Rojo
Igual
Número
1
2
3
Distinto
Sombreado
Rellenado
Rellenado
Rellenado
Igual
Símbolo
Oval
Oval
Oval
Igual

En este caso las tres cartas presentan colores, matices y símbolos iguales, y aunque tengan una característica distinta (el número de figuras),pueden formar un set porque cumplen con las condiciones previamente mencionadas. Sin embargo, es imposible formar un set en el cual las tres cartas las cuatro características sean iguales, ya que para que una carta tenga las mismas apariencias que otra carta en el mazo, indiscutiblemente es la misma carta, y en el mazo de “set” las cartas no se repiten.
En cambio, este conjunto de cartas no forma un“set”:

Carta 1 Carta 2 Carta 3
Característica
Carta 1
Carta 2
Carta 3
Distinto/Igual
Color
Rojo
Púrpura
Púrpura
C2 y C3 son iguales pero C1 es distinto
Número
1
1
1
Igual
Sombreado
Rayado
Rayado
Rayado
Distinto
Símbolo
Diamante
Oval
Diamante
C1 y C3 son iguales pero C2 es distinto

Como las cartas 2 y 3 tienen el color púrpura y lacarta 1 es de color rojo no se puede formar un set. Además, como los símbolos de las cartas 1 y 3 son un diamante y el de la carta 2 es un oval, se tendría que cambiar alguna carta del conjunto para poder formar un set:
•La carta 1 tendría que ser un garabato de color púrpura, o bien
•La carta 2 tendría que ser un diamante de color verde, o bien
•La carta 3 tendría que ser un garabato de...