Cumpleanos

PROBLEMA 1

Problema del cumplea˜
nos
En una reuni´on hay k personas. ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos dos de ellas
celebren el cumplea˜
nos el mismo d´ıa
CONTEXTO
1. A pesar del enunciado“pintoresco” del problema, el problema esconde un modelo
que tiene importancia pr´actica. Una formulaci´on equivalente en t´erminos de urnas
y bolas ser´ıa el siguiente: Si colocamos al azar k bolas en365 urnas, ¿cu´al es la
probabilidad de que al menos 2 bolas caigan en la misma urna?.
2. Mediante el establecimiento de algunas hip´otesis estableceremos algunos datos precisos para la resoluci´on delproblema y que el enunciado original deja sueltos.
Ejemplo:
a) Descartamos a˜
nos bisiestos y consideramos que hay 365 fechas posibles.
b) Consideramos que los nacimientos se comportan de manerauniforme a lo
largo del a˜
no y que por tanto la probabilidad de que una persona elegida
al azar cumpla a˜
nos en un d´ıa concreto es constante para todos los d´ıas y
1
. Traducida al enunciado de urnas ybolas ser´ıa aceptar que cada bola
vale 365
puede caer en cualquier urna con la misma probabilidad.
ASPECTOS A RESOLVER
1. Llamando Ak al suceso “al menos dos bolas caen en la misma urna”, calcula P(Ak ).
2. Si colocamos al azar k bolas en m urnas y si llamamos Bk,m al suceso “las k
bolas caen en urnas distintas”, indica el dominio de la funci´on P (Bk,m ) y expresa
P (Bk,m ) en funci´on P(Bk−1,m ). Utiliza la relaci´on de recurrencia anterior para
obtener P (Bk,m ).
3. Mediante alguna herramienta inform´atica obtener las probabilidades P (Ak ) del
apartado 1 para k = {5, 10, 15, ....., 85,90} y realiza una gr´afica con dichos valores.
ASPECTOS COMPLEMENTARIOS
1. Resumir los aspectos te´oricos que se han empleado en la resoluci´on del problema.
2. Intentar investigar y describir aqu´ı,que aplicaciones de la inform´atica usan un
modelo probabil´ıstico como el abordado en este problema.
3. Describir las dificultades encontradas, as´ı como las aportaciones que este trabajo
ha...