Curiosidades sobre la sucesión de Fibonacci

Sobre la Sucesión de Fibonacci
Daniel Buitrago
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
29 de noviembre de 2008

1.

Algunos aspectos generales

La sucesión de Fibonacci aparece por primera vez en la obra Liber Abacci (1228) del matemático italiano Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci
que es una abreviatura de …lius Bonacci (hijo de Bonacci en latín). En las páginas 123-124 podemosencontrar el problema de la reproducción de una especie de
conejos que dio origen a la famosa sucesión de números: f = 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; : : :etc.
donde el término n-ésimo (para n > 2) se obtiene sumando los dos anteriores.
Es decir,
fn = fn 1 + fn 2
para n > 2
Teniendo en cuenta que f1 = f2 = 1.
Con esta información podemos calcular cualquier término de la sucesión si
se conocenlos dos anteriores.
Existe otra forma de calcular el término n-ésimo y es resolviendo la ecuación
de recurrencia un = un 1 +un 2 . La sucesión de Fibonacci es un caso particular
de este tipo de sucesiones y se distingue de las demás precisamente porque
f1 = f2 = 1.
El primero en dar una solución a dicha ecuación fue el matemático Jacques
Philippe Marie Binet [1], quien obtuvo

un =

p1+ 5
2

n

1

p

p
2

5

Recordemos que el número ' se de…ne como
p
1+ 5
'=
2

5

n

(1)

Podemos expresar la anterior solución en términos de '. Tomemos el segundo sumando del numerador de (1) y lo reexpresaremos en términos de ':
p n
Multiplicando su numerador y denominador por 1 + 5 obtenemos
!n
p !n
p
5
1+ 5 1
1 5
p
p
=
2 1+ 5
1+ 5 2
!n
4
p
=
2 1+ 5!n
2
p
=
1+ 5
p ! n
1+ 5
=
2
=

n

( ')

Luego nuestra solución (1) puede escribirse como
un =

'n

( ')
p
5

n

(2)

Hay otra relación un poco más popular entre ' y la sucesión de Fibonacci,
que es la que a…rma que el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión
(el posterior entre el anterior), tiende a '.
En efecto, si hacemos el cociente entre dostérminos consecutivos de la sucesión usando (2) tenemos
fn
fn

'n ( ')
p
5
n 1 ( ')
'
p
5

=
1

'n

=

'n

1

n

(n

( ')
( ')

Multiplicando numerador y denominador por
1
'n
1
'n

'n

'n
1

( ')
( ')

n

=

(n 1)

lm

fn
fn 1

=
=

1
'n

1

1
'

1
1
'

obtenemos
1
('( '))n

1
'

= '
2

n
(n 1)

1

Veamos ahora loque sucede cuando n ! 1:
n!1

1)

1
('( '))n

0
0

'

Que es el resultado que queríamos comprobar.
Cabe resaltar que esta propiedad no sólo es cierta para la sucesión de Fibonacci, sino para cualquiera de la forma un = un 1 + un 2 para n > 2, ya que
tal sucesión de enteros con u1 = u2 sería solamente un múltiplo de la sucesión
de Fibonacci y por tanto su solución es un múltiplo dela solución dada (1). Una
prueba de esto y de la obtención de la solución (1) puede encontrarse en [1].

2.

La Sucesión de Fibonacci y el Triángulo de
Pascal

Hay otras dos relaciones interesantes, esta vez con el famoso Triángulo de
Pascal.
La primera y más conocida aparece en [1] (pág 18) y en gran parte de los
textos, artículos y páginas de Internet sobre la sucesión de Fibonacci. Setrata de
las diagonales ascendentes del Triángulo de Pascal: son números de la sucesión
de Fibonacci.
Primero, veamos que en el Triángulo de Pascal:

Podemos llamar diagonales ascendentes aquellas que toman un primer elemento de una de las …las, un segundo elemento de la …la que le sigue en orden
ascendente, un tercer elemento de la siguiente …la en el mismo orden (si existe),
etc.
En elTriángulo de la …gura podemos identi…car cuatro diagonales ascendentes:

3

La primera (d1 ) toma el primer elemento de la segunda …la y el segundo
elemento de la primera …la. La segunda diagonal (d2 ) se forma tomando el primer
elemento de la tercera …la y el segundo elemento de la segunda …la. La tercera
diagonal (d3 ) con el primer elemento de la cuarta …la, el segundo elemento de...