CURVA NORMAL
Páginas: 5 (1111 palabras)
Publicado: 7 de octubre de 2015
CURVA NORMAL
La distribución normal o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza, la industria y la navegación. Así pues para los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuada ladistribución normal:
- Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc.
- Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud.
- Las alturas de individuos de una edad y sexo dado.
- Las medidas físicas de productos manufacturados.
- La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.
Se dice que una variable aleatoria continua sigue unadistribución normal de media y desviación típica , y se escribe , cuando tiene la función de densidad:
Propiedades de la curva normal
Las Propiedades de la función f(x) se aprecian en su gráfica y son:
f(x) tiene por dominio .
f(x) es continua en su dominio.
f(x) es simétrica respecto a la recta x=μ.
F(x) tiene un máximo absoluto en
f(x) tiene dos puntos de inflexión en x= μ+σ y x=μ-σ.
f(x) es siemprepositiva y asintótica con respecto al eje OX.
Media, mediana y nodo tienen el mismo valor.
-La curva es simétrica respecto de la media, donde el sesgo es cero.
-La curtosis es 0.
-Las colas están cada vez más cercana al eje pero sin tocarlos (curva asintótica).
La gráfica de la función de densidad f(x) se llama campana de Gauss
Área bajo la curva normal
Para cualquier distribuciónN( μ, σ ) secumple que
La zona sombreada representa el 68,26% del área total.
La zona sombreada representa el 95,44% del área total
La zona sombreada representa el 99,74% del área total
Las áreas bajo la curva normal representan las probabilidades de distribución normal. El área total bajo la curva es igual a 1
Aplicaciones de la curva normal
La distribución normal es una de las distribuciones másusadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.
Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales como la acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:
Caracteresmorfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc.
Carácterísticas de la mayoría de los productos de consumo: duración de las bombillas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc.
Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes.
Uso de tabla de áreas bajo la curva normal
Existe una relación del porcentaje deprobabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y
Área bajo la curva de Distribución normal
Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal. En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve paradeterminar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.
Ejemplo 1.1
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.
P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.
P(Z<= - 2) =0.0228
c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1
P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
Ejemplo 1.2
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.
P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.
P(Z <= 2) = 0.9772 8
c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2
P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
Por qué es...
La distribución normal o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza, la industria y la navegación. Así pues para los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuada ladistribución normal:
- Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc.
- Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud.
- Las alturas de individuos de una edad y sexo dado.
- Las medidas físicas de productos manufacturados.
- La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.
Se dice que una variable aleatoria continua sigue unadistribución normal de media y desviación típica , y se escribe , cuando tiene la función de densidad:
Propiedades de la curva normal
Las Propiedades de la función f(x) se aprecian en su gráfica y son:
f(x) tiene por dominio .
f(x) es continua en su dominio.
f(x) es simétrica respecto a la recta x=μ.
F(x) tiene un máximo absoluto en
f(x) tiene dos puntos de inflexión en x= μ+σ y x=μ-σ.
f(x) es siemprepositiva y asintótica con respecto al eje OX.
Media, mediana y nodo tienen el mismo valor.
-La curva es simétrica respecto de la media, donde el sesgo es cero.
-La curtosis es 0.
-Las colas están cada vez más cercana al eje pero sin tocarlos (curva asintótica).
La gráfica de la función de densidad f(x) se llama campana de Gauss
Área bajo la curva normal
Para cualquier distribuciónN( μ, σ ) secumple que
La zona sombreada representa el 68,26% del área total.
La zona sombreada representa el 95,44% del área total
La zona sombreada representa el 99,74% del área total
Las áreas bajo la curva normal representan las probabilidades de distribución normal. El área total bajo la curva es igual a 1
Aplicaciones de la curva normal
La distribución normal es una de las distribuciones másusadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.
Las variables que presentan una distribución Normal tienen características comunes tales como la acumulación de valores en torno al valor de la media, la simetría en la distribución de los valores y escasos valores alejados de la media, por ejemplo:
Caracteresmorfológicos de individuos: altura, peso, número de pie, tamaño del palmo, etc.
Carácterísticas de la mayoría de los productos de consumo: duración de las bombillas, resistencia a la rotura de muebles o de piezas, duración de los electrodomésticos, etc.
Calificaciones obtenidas en cursos, asignaturas y exámenes.
Uso de tabla de áreas bajo la curva normal
Existe una relación del porcentaje deprobabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y
Área bajo la curva de Distribución normal
Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal. En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.
La primera tabla sirve paradeterminar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.
Ejemplo 1.1
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.
P(Z<= -1) = 0.1587
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.
P(Z<= - 2) =0.0228
c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1
P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259
Ejemplo 1.2
a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.
P(Z <= 1) = 0.8413
b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.
P(Z <= 2) = 0.9772 8
c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2
P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369
Por qué es...
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