curva

En matemáticas, el concepto de curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de un círculo de radio de curvatura infinito. Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1.Índice [ocultar]
1 Historia y definiciones
1.1 Curva simple
1.2 Curva plana
1.3 Curva diferenciable
1.4 Curva cerrada
1.5 Curva suave
1.5.1 Suave por partes
2 Geometría diferencial de curvas en R3
2.1 Vectores tangente, normal y binormal
3 Curvas no diferenciables
4 Referencias
5 Enlaces externos
[editar]Historia y definiciones

Cronología1
Año Acontecimiento
300 a. C.Euclides define las secciones cónicas
250 a. C. Arquímedes investiga las curvas espirales.
225 a. C.. Apolonio de Perge publica Cónicas.
1704 Isaac Newton clasifica las curvas cónicas.
1890 Giuseppe Peano aplicando la definición de Jordán,
demuestra que un cuadrado relleno también es una curva.
Década de 1920 Pável Urysón y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topología.
CamilleJordan (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver teorema de la curva de Jordan). En geometría, una curva en el n-espacio euclideano es un conjunto que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación diferenciable , i.e:

donde suele decirse que () es una representación paramétrica o parametrización de .Curva simple
Las curvas, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual admite una representación de clase con .
La definición de Jordan ha sido cuestionada apartir del descubrimiento del italiano Giuseppe Peano. Este matemático demostró en 1890 que un cuadrado relleno entra dentro de la definición de Jordan, pues logró representar todos los puntos del mismo utilizando dicha definición: trazó todos los puntos del cuadrado con una única curva. Pero es claro que un cuadrado no es, en el sentido convencional del término, una curva. Debido a ello, y aldescubrimiento posterir de otros casos similares a los de Peano, se ha planteado la necesidad de mejorar la definición de la definición de lo que es, matemáticamente, una curva.1
[editar]Curva plana
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana. 2
[editar]Curvadiferenciable
Una curva se llama diferenciable cuando la función es diferenciable. Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arco está bien definida y es posible calcular su longitud. La curva :

es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el punto(0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.
[editar]Curva cerrada
Una curva diferenciable es cerrada cuando cuando . Si además, la función es inyectiva en el intervalo entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo , es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva dada por:

es una curvadiferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.
[editar]Curva suave


Cicloide.
Se le llama curva suave a la curva que no posee puntos angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, una cicloide.3
Formalmente, dada una curva C representada por la ecuación paramétrica:

en un intervalo I...