Curvas Envolventes ED
Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1
Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada
1.
Introducci´
on
Podemos preguntarnos sobre los casos donde no es posible despejar y
ordinaria de primer orden: F[x, y(x), y (x)] = 0.
Varias situaciones pueden aparecer:
F[y (x)] =
F[x, y (x)] =
F[x, y(x), y (x)] = 0 ⇒
F[y(x), y (x)] =
F[x, y(x), y (x)] =
1.1.
de la ecuaci´on diferencial
0
0
0
0
Caso: F[y (x)] = 0
Como F[y (x)] = 0 no contiene ni a x ni a y(x), entonces s´ı existe al menos una ra´ız κi de la
ecuaci´on F[y (x)] = 0 entonces
y = κi
⇒
⇒
y(x) = κi x + C
Por lo tanto
F
κi =
y(x) − C
.
x
y(x) − C
=0
x
es la integral de la ecuaci´
on diferencial.
Ejemplo
La soluci´
on de la ecuaci´
on
(y )7 − (y )5 + y +3 = 0 ,
es
y(x) − C
x
1.2.
7
−
y(x) − C
x
5
+
y(x) − C
+3=0
x
Caso: F[x, y (x)] = 0
Si se puede despejar x, entones podemos hacer los siguientes cambios de variable
dx = f (t) dt
g(t)f (t) dt + C
x = f (t)
y(x) =
⇒
⇒ dy = g(t)f (t) dt ⇒
y = g(t)
dy = g(t) dx
x = f (t)
H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez
1
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 5 - Clase 14
EjemploTema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1
La ecuaci´
on
(y )3 − y = 1 + x .
Podemos hacer los siguientes cambios de variable
dx = (3t2 − 1) dt
x = t3 − t − 1
⇒
y = t
dy = t dx
⇒
dy = t(3t2 − 1) dt
integrando:
⇒
x = t3 − t − 1
1.3.
t(3t2 − 1) dt
dy =
y(x) =
t2
2
4 (3t
− 2) + C
x = t3 − t − 1
Caso: F[y(x), y (x)] = 0
1. Se puede despejar y(x), esdecir: y = f (y ). Entonces hacemos los siguientes cambios de
variables:
dy = z dx
y = z
df dz
df dz
⇒
⇒ z(x) =
⇒ dx =
dz dx
dz z
y = f (z)
dy = f (z) z dx
Por lo tanto, la soluci´
on param´etrica ser´a
x =
Ejemplo
df dz
dz z
+C
y = f (z)
La ecuaci´
on
y = a(y )2 + b(y )3 ,
a y b = constantes
Tenemos entonces:
y
= z
⇒
y = az 2 + bz 3
la soluci´
on param´etrica es :
(2a +3bz) dz + C
x =
dx = (2az + 3bz 2 )
⇒
y = az 2 + bz 3
H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez
x = 2az + 32 bz 2 + C
2
dz
z
.
y = az 2 + bz 3
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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1
En el caso de que queramos obtener y(x) podemos intentar despejar z de la primera ecuaci´
on,
en este caso esto es posible
z(x) =−
1
2a ±
3b
4 a2 + 6 b(x − C) ,
y sustituir en la segunda:
y(x) =
1
2a ±
27b2
4 a2 + 6 b(x − C)
2
4 a2 + 6 b(x − C) .
a∓
2. No se puede despejar y ni y de F[y(x), y (x)] = 0, pero puede existir un par´ametro tal que
dy = f (t) dt
y = f (t)
f (t)
⇒ f (t) dt = g(t) dx ⇒
⇒
dt = dx
g(t)
dy = g(t) dx
y = g(t)
La soluci´
on param´etrica es entonces la siguiente:
f (t)
g(t) dt = x + C
Ejemplo
.
y = f (t)
La ecuaci´
on
y 2/3 + (y )2/3 = 1 ,
Tenemos entonces:
y = cos3 (t)
y
⇒
−
= sen3 (t)
3 cos2 (t)sen(t)
dt = dx
sen3 (t)
Por lo tanto
−3
cot2 (t)dt = x + C
⇒
y =
1.4.
cos3 (t)
x = 3 [cot(t) + t] + C
y = cos3 (t)
Caso: F[x, y(x), y (x)] = 0
1. Si se puede despejar la funci´
on y, entonces y = G(x, y ). En este caso consideramos la siguientesustituci´
on: y = z(x)
y = G(x, y ) = G(x, z)
⇒
dy = ∂x G dx + ∂z G dz = z dx ,
por lo tanto:
z = ∂x G + ∂z G
H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez
dz
dz
⇒
φ(x, z, C) = 0
3
y = G(x, z)
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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1
2. Si se puede despejar a la variable x, entonces x = H(y, y ). Como en el caso anteriortenemos
la siguiente sustituci´
on: y = z(x)
x = H(y, y ) = H(y, z)
⇒
dx = ∂y H dy + ∂z H dz .
Si multiplicamos por z, se tiene
zdx = z [∂y H dy + ∂z H dz]
por lo tanto:
dy = z [∂y H dy + ∂z H dz]
φ(y, z, C) = 0
⇒
x = H(x, z)
Aqu´ı podemos considerar dos tipos de ecuaciones bien conocidas:
y = xf (y ) + g(y )
→
Ecuac. de Lagrange
y un caso particular de la ecuaci´
on de...
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