Curvas parametricas

CLASE 9 CURVAS PARAMÉTRICAS
Para esta clase hemos preparado tres elementos que complementan los ya estudiados en las clases anteriores: curvas paramétricas en 2D, controles tipo botón y uso del dibuja-si con expresiones booleanas compuestas. Las ecuaciones paramétricas posibilitan una gran variedad de curvas, algunas conocidas, otras extrañas, algunas complejas, otras sorprendentes por susimetría y belleza. Estas curvas se generan cuando las variables x e y se expresan en función de una tercera llamada parámetro. En gráficos 2D se usa el parámetro t y en gráficos 3D los parámetros u y v. Si x e y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones x = f(t) e y=g(t) (llamadas ecuaciones paramétricas), entonces cada valor de t determina un punto(x,y) que se puede representar en un sistema de coordenadas. Cuando t varía, el punto (x,y)= (f(t),g(t)) varía y traza una curva C (llamada curva paramétrica). El estudio de estas curvas demanda más tiempo del que nos proponemos con este tutorial. Nuestro objetivo es sólo mostrar cómo se representan estas curvas en el Proyecto Descartes. Algunas curvas que usaremos en esta clase se describen acontinuación. Algunas de ellas fueron consultadas en http://www.iesaltoalmanzora.com/, otras, en especial las episicloides, fueron consultadas en el aporte de Rita Jiménez Igea en http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/cicloides/cicloides.htm, ver también estas páginas: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Curvas_en_parametricas/index.htm de Ricardo Sarandeses Fernández y unaamplia colección de curvas en http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2dsp.shtml. Lemniscata de Bernoulli. La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugargeométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en latín significa "cinta colgante". Su figura es el símbolo usado en matemáticas para representar infinito (∞). Ecuación: x=asen(t)/(1+cos2(t)) y=asen(t)cos(t)/(1+cos2(t))

Cisoide. Curva formada por dos ramas simétricas que parten de un mismo punto y tienen una asíntota común.Diocles (~250 - ~100 aC) inventó esta curva para solucionar el problema de la duplicación del cubo (problema de Delian). El nombre de cisoide (forma de hiedra) proviene de la forma de la curva. Posteriormente el método usado para generar esta curva se generalizó y a las curvas obtenidas por dicho método se las denomina cisoides. Ecuación: x = 2a sen2(t) y = 2a sen3(t)/cos(t) Concoide. Conocidas comoconcoides de Nicomedes en honor a un erudito de la antigua Grecia, Nicomedes. Las llamó concoides porque la forma de sus ramas externas se asemeja a la de una concha de un caracol o de un mejillón. Ecuación: x = a + cos(t) y = atan(t) + sen(t)

Epicicloide. Específicamente, las epi/hipocicloide son las trazas de un punto en un círculo rodando sobre otro círculo sin deslizamiento. Cuando elcírculo rueda por el exterior se tiene una epicicloide, cuando lo hace por el interior tenemos una hipocicloide. Notemos que cuando un círculo esté en el interior de otro ambos pueden ser los círculos rodantes. Rita Jiménez nos da la siguiente descripción: “Las epicicloides ordinarias son curvas que se generan por un punto P de una circunferencia de radio b al girar exteriormente y sin deslizamientosobre otra circunferencia de radio a. Un caso sencillo de epicicloide es aquel en que la relación de radios a/b es un número entero. Dando una sola vuelta completamos la epicicloide y ésta tendrá n cúspides”. Ecuaciones x = (a+b)cos(t) -bcos((a+b)t/b) y = (a+b)sen(t)-bsen((a+b)t/b) x = (a-b)cos(t) +bcos((a-b)t/b) y = (a-b)sen(t)-bsen((a-b)t/b) Nefroide. Curva tipo epicicloide. El nombre nefroide...