Cálculo Diferencial: Funciones

Funciones L´ımites Continuidad

Funciones
MCM Dennis Rafael Tuyub Puc
Universidad Aut´
onoma de Yucat´
an.
Facultad de Ingenir´ıa Qu´ımica

DT

U1

Funciones L´ımites Continuidad

Contenido:
1

Funciones
Gr´afica de una funci´
on
Funciones como modelos matem´aticos

2

L´ımites
Introducci´on a los l´ımites de funciones
Leyes de los l´ımites
L´ımites laterales
L´ımites Infinitos
L´ımites alinfinito

3

Continuidad
Teoremas sobre continuidad

DT

U1

Funciones L´ımites Continuidad

Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

Contenido:
1

Funciones
Gr´afica de una funci´
on
Funciones como modelos matem´aticos

2

L´ımites
Introducci´on a los l´ımites de funciones
Leyes de los l´ımites
L´ımites laterales
L´ımites Infinitos
L´ımites al infinito

3

Continuidad
Teoremassobre continuidad

DT

U1

Funciones L´ımites Continuidad

Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

Una variable es una magnitud a la que se le puede asignar un
n´
umero ilimitado de valores. Las variables se representan
usualmente por las u
´ltimas letras del alfabeto.
Una magnitud que tiene un valor fijo se llama constante.
Un par´ametro es una constante arbitraria queconserva su valor
durante todo el proceso de an´alisis.

DT

U1

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Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

En matem´aticas estamos interesados en la correspondencia entre
objetos, estas correspondencias se representan mediante el uso de
variables, par´emetros y constantes.
Definici´on
Una funci´on de un conjunto X a un conjunto Y es una reglade
correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente
un elemento y en Y .

DT

U1

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Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

Las funciones suelen representarse por una letra como f , g ´o h.
Podemos representar una funci´
on que va de un conjunto X a un
conjunto Y mediante f : X → Y . El conjunto X se llama dominio
de la funci´ony los elementos y que corresponden a los valores de x
se llaman rango de la funci´
on.
El u
´nico valor y que corresponde a x se denomina valor de la
funci´on o imagen y se escribe y = f (x). A la variable x suele
llamarse variable independiente ya que podemos asignarle valores a
voluntad.

DT

U1

Funciones L´ımites Continuidad

Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticosDurante un proceso de an´alisis un mismo s´ımbolo de funci´on indica
la misma dependencia entre una funci´
on y su variable. As´ı el
mismo s´ımbolo indica el mismo conjunto de operaciones aplicadas
a diferentes valores de la variable, de esta forma si
f (x) = x 2 − 9x + 14
entonces
f (y) = y2 − 9y + 14
f (b + 1) = (b + 1)2 − 9 (b + 1) + 14 = b 2 − 7b + 6
f (0) = 02 − 9 · 0 + 14 = 14
f (−1) = (−1)2− 9 (−1) + 14 = 24

DT

U1

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Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

Ejercicio
Dado f (x) = x 3 − 5x 2 − 4x + 20 demostrar que f (1) = 12,
f (5) = 0, f (0) = −2f (3), f (7) = 5f (−1)
Ejercicio
Si f (x) = 4 − 2x 2 + x 4 calcular f (0), f (1), f (−1), f (2), f (−2)

DT

U1

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Gr´
afica de una funci´
on Funcionescomo modelos matem´
aticos

Ejercicio
Si F (θ) = sin (2θ) + cos (θ), hallar F (0), F

π
2

, F (π)

Ejercicio
Dado φ (z) = 4z , demostrar que φ (z + 1) − φ (z) = 3φ (z)

DT

U1

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Gr´
afica de una funci´
on Funciones como modelos matem´
aticos

Ejercicio
Si φ (x) = ax , muestre que φ (y ) · φ (z) = φ (y + z)
Ejercicio
Dado
ϕ (x) = log

1−x
1+x

demuestre que
ϕ (y ) + ϕ(z) = ϕ

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U1

y +z
1 + yz

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Contenido:
1

Funciones
Gr´afica de una funci´
on
Funciones como modelos matem´aticos

2

L´ımites
Introducci´on a los l´ımites de funciones
Leyes de los l´ımites
L´ımites laterales
L´ımites Infinitos
L´ımites al infinito

3

Continuidad
Teoremas sobre continuidad...