datos

1.1. Variables de Decisi¶on
Se debe comenzar de¯niendo las variables de decisi¶on relevantes. En un modelo de programaci¶on
lineal las variables de decisi¶on deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan
ser tomadas y todas las variantes que existan.
Antes de de¯nir las variables de decisi¶on es importante de¯nir las unidades involucradas en el problema.
En estecaso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda
semanal. De acuerdo a ello, una buena opci¶on para de¯nir las variables de decisi¶on consiste en asociar
las variables al n¶umero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos
de¯nir:
x1 = n¶umero de mesas producidas por semana.
x2 = n¶umero de sillas producidas por semana.(1.1)
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F.I.O. Segundo Semestre 2004 Programaci¶on Lineal
1.2. Funci¶on Objetivo
En un problema de LP, se debe tomar la decisi¶on de maximizar (usualmente las utilidades)
o de minimizar (usualmente los costos) cierta funci¶on de las variables de decisi¶on. La funci¶on a
maximizar o minimizar se denomina funci¶on objetivo. Antes de formular el modelo matem¶atico
conviene resumir los datos delproblema (Tabla 1.1).
hVenta Materiales Mano de Obra Carpinter¶³a Terminaciones Dda. M¶axima
$
un.
i h
$
un.
i h
$
un.
i h
hr.
un.
i h
hr.
un.
i £ un.
sem.
¤
Mesa 27000 10000 14000 1 2 {
Silla 21000 9000 10000 1 1 40
Disponibilidad { { { 80 100 {
Tabla 1.1: Resumen Ejemplo 1
En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x1 o de x2, por lo tanto bastaconcentrarse en maximizar la diferencia entre:
µ
ingresos
semanales
¶
¡
µ
costos de
materiales
¶
¡
µ
costos por
mano de obra
¶
(1.2)
Luego, se debe expresar los t¶erminos anteriores en funci¶on de las variables de decisi¶on x1 y x2.
Supondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas (respentando las condiciones
de mercado del enunciado). As¶³:
µ
ingresos
semanales
¶
=µ
ingresos
por mesas
¶
+
µ
ingresos
por sillas
¶
=
³
$
mesa
´ ¡ mesas
semana
¢
+
³
$
silla
´ ³
sillas
semana
´
= 27000x1 + 21000x2
(1.3)
Similarmente:
µ
costos por
materiales
¶
= 10000x1 + 9000x2
µ
costos por
mano de obra
¶
= 14000x1 + 10000x2
(1.4)
Por lo tanto la funci¶on a maximizar queda (en miles):
(27x1 + 21x2) ¡ (10x1 + 9x2) ¡ (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2(1.5)
Otra opci¶on para construir la funci¶on objetivo consiste en calcular previamente los ingresos netos
o utilidades de cada uno de los productos de la muebler¶³a. As¶³:
utilidad por mesa = 27 ¡ 10 ¡ 14 = 3
utilidad por silla = 21 ¡ 9 ¡ 10 = 2
(1.6)
As¶³, el objetivo de la muebler¶³a es escoger los valores de x1 y x2 tal que se maximize 3x1 + 2x2.
Denotando por z el valor de la funci¶onobjetivo para cualquier LP, la funci¶on objetivo de la muebler¶³a
es:
2
F.I.O. Segundo Semestre 2004 Programaci¶on Lineal
Maximizar z = 3x1 + 2x2 (1.7)
El coe¯ciente que acompa~na a cada variable en la funci¶on objetivo se denomina coe¯ciente en la
funci¶on objetivo de la variable y re°eja el aporte unitario de dicha variable a la funci¶on objetivo.
1.3. Restricciones
En la medida que lasvariables x1 y x2 crecen, la funci¶on objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si
se pudiera escoger arbitrariamente el valor de x1 y x2, la muebler¶³a podr¶³a hacer crecer arbitrariamente
el valor de sus utilidades. Evidentemente, en la pr¶actica esto no es posible. En este ejemplo, el valor
de las variables est¶a limitado por las siguientes tres restricciones:
Restricci¶on 1 : m¶aximo 100horas semanales para terminaciones
Restricci¶on 2 : m¶aximo 80 horas semanales para carpinter¶³a
Restricci¶on 3 : producci¶on m¶axima de 40 sillas semanales
Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el pr¶oximo paso consiste en
formular matem¶aticamente las restricciones anteriores en funci¶on de las variables de decisi¶on. Para
formular la primera restricci¶on en...