Dd Unidad 4 1ro 2013

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UNIDAD IV: ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. MODELOS UNIVARIADOS

4.1 INTRODUCCION
A continuación se revisan con cierto detalle, algunas distribuciones específicas de probabilidades
que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. Se
examinan algunos modelos de probabilidad discretos y continuos, y en cada caso se presentan las
característicasdistintivas de las distribuciones particulares de probabilidad.
4.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
4.2.1 Distribución Binomial
Una distribución de probabilidad que se usa ampliamente para una variable aleatoria discreta
es la distribución binomial.
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta
que implica la posibilidad de obtener x éxitos en n pruebas de unexperimento binomial.
La distribución binomial describe una situación que produce uno de dos resultados posibles en cada
prueba. Además, las probabilidades de estos resultados deben permanecer constantes de una prueba
a otra, y las pruebas deben ser independientes. La distribución binomial es útil cuando la situación
real que se está modelando cumple con los siguientes criterios:
Característicasesenciales de la distribución binomial
1. Existen n pruebas idénticas que conducen a uno de dos resultados:
éxito o fracaso.
2. La probabilidad de cada resultado permanece constante de una
prueba a otra. La probabilidad de uno de estos resultados, llamado
éxito, se designa por p.
3. Las pruebas son independientes.
Un experimento con estas características, se dice que es un experimento binomial y lavariable
aleatoria X definida como X : número de éxitos obtenidos en n realizaciones del experimento, se
dice que tiene una distribución binomial con parámetros n y p, lo que escribimos:

X

B(n , p)

donde:
n: es el número de veces que se repite el experimento, y
p: es la probabilidad de éxito en una sola prueba.
Definición 1:
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria Binomial X,
estádada por:

P X

x

p(x)

Estadística 220015 / 2do Sem_2012

n x
p (1 p)n
x

x

,

x

0,1,..., n .

 Prof.. Nelly Margot Gómez F.

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Teorema 1:
Si X B(n , p), entonces: E(X) np,
donde q = 1 - p

V(X) npq,

σ

npq .
x

1 x

Nota: En el caso particular en que n = 1, se tiene P(X = x) = p(x) = p (1 p) , x 0,1
E(X) = p y V(X) = p(1 – p). Se dice que la v. a. X tiene una distribución Bernoulli deparámetro
p. Se escribe X Bernoulli(p).
A continuación se muestran gráficos de la distribución binomial para distinto p.
Distribución Binomial

n = 15 p = 0,2

30

25

Porcentaje

20

15

10

5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Distribución Binomial n = 15 p = 0,5
20

Porcentaje

15

10

5

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Distribución Binomial n = 15 p = 0,8
30

25

Porcentaje

20

15

10

50

6

7

8

9

10

11

Estadística 220015 / 2do Sem_2012

12

13

14

15

 Prof.. Nelly Margot Gómez F.

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A continuación se muestran algunos ejemplos donde se aplica la distribución binomial.
Ejemplo 1: Suponga que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble
es de 0,05. Si el número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes.
a) ¿Cuáles la probabilidad de que entre 20 unidades, dos se encuentren defectuosas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos como límite se encuentren defectuosas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, por lo menos una se encuentre defectuosa?
d) ¿Cuál es el número esperado de unidades defectuosas?
Solución: Sea la v. a.:
X: número de unidades defectuosas encontrados, entrelas 20 unidades inspeccionadas.
Entonces, X

B(n = 20, p = 0,05) , RX = 0, 1, 2, 3, ...,20 .

a) P(X = 2) = p(2) =

20 (0,05)2 (0,95)18 = 0,189
2

Así, la probabilidad de que entre 20 unidades, dos sean defectuosas es
2

b) P(X

2) = p(0) + p(1) + p(2) =

x 0

c) P(X

2

20

x 0

x

p(x)

1) = 1 - P(X = 0) = 1 – p(0) = 1 -

(0,05) x (0,95) 20

x

= 0,9245

20 (0,05)0 (0,95)20 = 1 – 0,3585...