Deber 8
Páginas: 5 (1112 palabras)
Publicado: 11 de mayo de 2012
DEBER 8
Schubert D. Rodr´ ıguez 13 de diciembre de 2010
´ ESCUELA POLITECNICA DEL ´ EJERCITO ´ ´ METODOS NUMERICOS
1. Determine los siguientes casos, el polinomio interpolador de Lagrange para aproximar la funci´n f (x) = x3 o a) El polinomio cuadr´tico P2 (x), para los nodos x0 = −1, x1 = 0 y a x2 = 1 Se necesita desarrollar una pequea tabla de valores para ubicar los puntos en el plano xk-1 0 1 f (xk ) -1 0 1
Es decir se requiere interpolar una funci´n que relacione a estos o puntos:
1
1
0.5
0
y
−0.5
−1 −1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0 x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 1: Distribuci´n de puntos o Se procede a utiliza el algoritmo desarrollado para obtener la respuesta function [C,L]=lagrange(x,y) w=length(x); n=w-1; L=zeros(w,w); fork=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end L(k,:)=V; end C=y; C=C*L; Se obtiene como resultado: Del cual se conoce que C es un vertor que almacena los coeficientes del polinomio, mientras que L son las series sucesivas formadas para obtener dicho polinomio. C = 0 1 0
2
L = 0.5000 -1.0000 0.5000 -0.5000 0 0.5000 0 1.0000 0
El polinomio que se obtiene es P2 (x) =0x2 + x + 0 por lo tanto se obtiene un polinomio lineal debido a la linealidad de los puntos P1 (x) = x Entonces se tiene un polinomio y una gr´fica en esta disposici´n. a o
10
5
0
y
−5
−10 −10
−8
−6
−4
−2
0 x
2
4
6
8
10
Figura 2: P1 (x) = x b) El polinomio c´bico P3 (x), para los nodos x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 u y x3 = 2 Se necesita desarrollar unapequea tabla de valores para ubicar los puntos en el plano xk -1 0 1 2 f (xk ) -1 0 1 8
3
8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 3: Distribuci´n de puntos o Se obtiene del Algoritmo C = 1.0000 0 0 0
L = -0.1667 0.5000 -0.5000 0.1667 0.5000 -1.0000 0.5000 0 -0.3333 -0.5000 1.0000 -0.1667 0 1.0000 0 0
Esto quiere decir un polinomio c´bico u P3 (x) = x3 Coincide con lafunci´n con la que se determin´ los puntos yk , por o o lo que se puede decir que la interpolaci´n es bastante buena. o
4
100
50
0
y
−50
−100 −5
−4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
5
Figura 4: f (x) = x3 2. Modirficar el c´digo dado para que realize el gr´fico de los nodos(puntos o a y el polinomio interpolador) Con una peque˜a nodificaci´n en la parte n o finaldel c´digo, podemos realizar gr´ficas correspondientes. o a function [C,L]=lagrangegraf(x,y) w=length(x); n=w-1; L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end L(k,:)=V; end C=y; C=C*L; %Para graficar px=-10:0.1:10; py=polyval(C,px); scatter(x,y,’*r’),grid,hold on plot(px,py); Para demostrar la validez del algoritmo, se utiliza un ejemplo. f (x) = x3 −1 5
para x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2 xk 0 1 2 C = 3 -2 -1 f (xk ) -1 0 7
L = 0.5000 -1.0000 0.5000 -1.5000 2.0000 -0.5000 1.0000 0 0
El polinomio resultante es: f (x) = 3x2 − 2x − 1
350 300 250 200 150 100 50 0 −50 −10
−5
0
5
10
Figura 5: f (x) = 3x2 − 2x − 1
3. Cree su propio c´digo o function p=MLagrange(x,y) p=0; 6
syms t;%Crea una variable simbolica n=length(x);for i=1:n L=1; for j=1:n if i~=j L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end end p=p+L*y(i); %da como resultado un polinomio factorado es decir en funcion %de t p=simplify(p); end Otro tipo de resultado es un polinomio ya factorado como, si se ocupa el ejemplo anterior como prueba para el algoritmo.Se obtendra: p = (3*t + 1)*(t - 1) Y al resolver esta expresi´n se obtiene: o p(t) = 3t2 − 2t − 1 equivalente a:p(x) = 3x2 − 2x − 1 P = [3 − 2 − 1]
350 300 250 200 150 100 50 0 −50 −10
−5
0
5
10
Figura 6: f (x) = 3x2 − 2x − 1
7
4. En el siguiente cuadro se muestran temperaturas que fueron medidas cada hora, durante un lapso total de 5 horas. H T 13 18 14 18 15 17 16 16 17 15 18 14 Tabla: Temperaturas medidas durante un lapso de 5 horas a) Construir el polinomio interpolador de...
Schubert D. Rodr´ ıguez 13 de diciembre de 2010
´ ESCUELA POLITECNICA DEL ´ EJERCITO ´ ´ METODOS NUMERICOS
1. Determine los siguientes casos, el polinomio interpolador de Lagrange para aproximar la funci´n f (x) = x3 o a) El polinomio cuadr´tico P2 (x), para los nodos x0 = −1, x1 = 0 y a x2 = 1 Se necesita desarrollar una pequea tabla de valores para ubicar los puntos en el plano xk-1 0 1 f (xk ) -1 0 1
Es decir se requiere interpolar una funci´n que relacione a estos o puntos:
1
1
0.5
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y
−0.5
−1 −1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0 x
0.2
0.4
0.6
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Figura 1: Distribuci´n de puntos o Se procede a utiliza el algoritmo desarrollado para obtener la respuesta function [C,L]=lagrange(x,y) w=length(x); n=w-1; L=zeros(w,w); fork=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end L(k,:)=V; end C=y; C=C*L; Se obtiene como resultado: Del cual se conoce que C es un vertor que almacena los coeficientes del polinomio, mientras que L son las series sucesivas formadas para obtener dicho polinomio. C = 0 1 0
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L = 0.5000 -1.0000 0.5000 -0.5000 0 0.5000 0 1.0000 0
El polinomio que se obtiene es P2 (x) =0x2 + x + 0 por lo tanto se obtiene un polinomio lineal debido a la linealidad de los puntos P1 (x) = x Entonces se tiene un polinomio y una gr´fica en esta disposici´n. a o
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Figura 2: P1 (x) = x b) El polinomio c´bico P3 (x), para los nodos x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 u y x3 = 2 Se necesita desarrollar unapequea tabla de valores para ubicar los puntos en el plano xk -1 0 1 2 f (xk ) -1 0 1 8
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8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figura 3: Distribuci´n de puntos o Se obtiene del Algoritmo C = 1.0000 0 0 0
L = -0.1667 0.5000 -0.5000 0.1667 0.5000 -1.0000 0.5000 0 -0.3333 -0.5000 1.0000 -0.1667 0 1.0000 0 0
Esto quiere decir un polinomio c´bico u P3 (x) = x3 Coincide con lafunci´n con la que se determin´ los puntos yk , por o o lo que se puede decir que la interpolaci´n es bastante buena. o
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Figura 4: f (x) = x3 2. Modirficar el c´digo dado para que realize el gr´fico de los nodos(puntos o a y el polinomio interpolador) Con una peque˜a nodificaci´n en la parte n o finaldel c´digo, podemos realizar gr´ficas correspondientes. o a function [C,L]=lagrangegraf(x,y) w=length(x); n=w-1; L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j)); end end L(k,:)=V; end C=y; C=C*L; %Para graficar px=-10:0.1:10; py=polyval(C,px); scatter(x,y,’*r’),grid,hold on plot(px,py); Para demostrar la validez del algoritmo, se utiliza un ejemplo. f (x) = x3 −1 5
para x0 = 0, x1 = 1 y x2 = 2 xk 0 1 2 C = 3 -2 -1 f (xk ) -1 0 7
L = 0.5000 -1.0000 0.5000 -1.5000 2.0000 -0.5000 1.0000 0 0
El polinomio resultante es: f (x) = 3x2 − 2x − 1
350 300 250 200 150 100 50 0 −50 −10
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Figura 5: f (x) = 3x2 − 2x − 1
3. Cree su propio c´digo o function p=MLagrange(x,y) p=0; 6
syms t;%Crea una variable simbolica n=length(x);for i=1:n L=1; for j=1:n if i~=j L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end end p=p+L*y(i); %da como resultado un polinomio factorado es decir en funcion %de t p=simplify(p); end Otro tipo de resultado es un polinomio ya factorado como, si se ocupa el ejemplo anterior como prueba para el algoritmo.Se obtendra: p = (3*t + 1)*(t - 1) Y al resolver esta expresi´n se obtiene: o p(t) = 3t2 − 2t − 1 equivalente a:p(x) = 3x2 − 2x − 1 P = [3 − 2 − 1]
350 300 250 200 150 100 50 0 −50 −10
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Figura 6: f (x) = 3x2 − 2x − 1
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4. En el siguiente cuadro se muestran temperaturas que fueron medidas cada hora, durante un lapso total de 5 horas. H T 13 18 14 18 15 17 16 16 17 15 18 14 Tabla: Temperaturas medidas durante un lapso de 5 horas a) Construir el polinomio interpolador de...
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