Definici n de la notaci n

Definición de la notación[editar]
En esta notación se representa la operación de diferenciar. Dada una función f de x:

mediante el operador derivada de la función:

se representaría de este modo

como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena. Dadaslas funciones:


que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto[cita requerida])

o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales:

Aparición en Principia[editar]
En la primera edición americana del libro se hace una introducción a la vida de Newton. En esta introducción, redactadapor N. W. Chittenden, se comenta en una de las páginas que
el método diferencial es único y el mismo que el método de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notación; el señor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el señor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notación no usada por el señor Newton.1
Aplicaciones[editar]
La notaciónde Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano,rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.
El concepto de Derivada
Laderivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666). Desde hace 2006 - 1666 = 340 años (suponemos que usted  lee estos apuntes en el año 2006, conformelo lea en años venideros efectué la resta pertinente) la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la gran parte de los fenómenos de la naturaleza.
La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirviópara el estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos conocer la velocidad de su desplazamiento. Sin embargo esta concepto se puede extender a problemas de crecimiento, de cualquier tipo de crecimiento. En efecto, supongamos que conocemos la cantidad de seres vivos en cualquier instante detiempo, que denotaremos como N( t ). Esto es, N( t ) es la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo t. De manera que N( t + Dt) será la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo  t + Dt. Y entonces el crecimiento (o decrecimiento) de seres vivos en el intervalo de tiempo [ t ,  t + Dt] será de
N( t + Dt) - N( t )              (1)
De otra forma, el valor que resulta de laexpresión en (1) es la cantidad de crecimiento neto durante el intervalo de tiempo  [ t ,  t + Dt]. Ahora si la cantidad obtenida en (1) es negativa se interpretará como la cantidad de decrecimiento en el intervalo [ t ,  t + Dt]. Como quiera que sea hablaremos de crecimiento (entendiendo que si es negativa, pasará a ser decrecimiento). Podemos hacernos la siguiente pregunta ¿Cuántos seres vivosnacen por unidad de tiempo, en el íntervalo [ t ,  t + Dt]? Y la respuesta es claramente la siguiente:
               (2)
Esto es, la división entre el crecimiento por la longitud del intervalo en estudio. Observe que las unidades de (2) son número de seres vivos por unidad de tiempo. Además el valor de la expresión (2) va a depender del valor de Dt, esto es de la longitud del intervalo [ t ,  t...