Deformaciones

DEFORMACIONES DE VIGAS, METODO DE DOBLE INTEGRACION

LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA

La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original ala forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

(1)[pic]

Donde:
[pic] representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas.
[pic] la abcisa (eje X) sobre la viga.
[pic] el momento flector sobre la abcisa [pic].[pic] el segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal.
[pic] el módulo de elasticidad del material.

La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformacionesmayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):

(1')[pic]

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:

(2)[pic]

Esta última ecuación es interesante porque su generalización a elementos bidimensionales es precisamente la ecuación fundamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas:

[pic]Donde D = EIpl es la rigidez de una placa delgada en flexión.

Ejemplo
[pic]

Viga deformada por flexión.

Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la forma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la forma aproximada de la deformada dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en lafigura adyacente. Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación diferencial siguiente:

[pic]
[pic]
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:

[pic]

ES DE LA ELASTICA

La curvaelástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga.

MÉTODO DE LOS TRAMOS

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuvierasometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llegaa cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

[pic]

DEFORMACIONES EN VIGAS, METODO DE TRABAJO VIRTUAL

PRINCIPIO DE BERNOULLI

[pic]

Esquema del Principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de unfluido moviéndose a lo largo de una líneade corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la...