Deformaciones




Figura 1.8 Círculo de Mohr de esfuerzos.


Para este sistema de esfuerzos bidimensional, el sistema coordenado se selecciona de tal forma que , entonces la ecuación 1.11 se reduce a:

(1.14)

Resolviendo, los esfuerzos principales quedan como:

(1.15)

El esfuerzo cortante máximo da

(1.16)

Lassiguientes ecuaciones pueden ser usadas para la dirección de , si las componentes de esfuerzos son conocidos.

(1.17)

Ejemplo 1.1

Los esfuerzos en un punto en un cuerpo son , y . Este estado de esfuerzos es mostrado en el siguiente esquema. Haciendo uso del círculo de Mohr encuentre las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante actuando sobre:

1. Los planosprincipales;
2. Los planos de esfuerzos a cortante máximo;
3. El plano donde la normal n hace un ángulo de 30° con el eje x;



Solución

Trazo del círculo de Mohr con los datos dados.



Figura A. Círculo de Mohr de esfuerzos.

ESFUERZOS PRINCIPALES

Haciendo uso de la ecuación 1.15



Sustituyendo

Y


ESFUERZO CORTANTE MÁXIMOSustituyendo en la ecuación (1.16)
Y el ángulo se obtiene usando la (ec. 1.17):

De aquí


Obsérvese que los puntos A y B están en extremos opuestos separados por 180° en el círculo de Mohr; de aquí que los esfuerzos máximo y mínimo sean perpendiculares, como se muestra en el siguiente esquema


2. Del círculo de Mohr, se observa que los puntos C y D representanlos esfuerzos a cortante máximo y mínimo, respectivamente, entonces, el plano de estos esfuerzos es:

3. La condición de esfuerzos sobre un plano cuya normal n hace 30° con el eje x es representado por el punto E en el círculo de Mohr


Entonces, los esfuerzos en el plano – n son:



Y en la dirección perpendicular al plano son





Ejercicios

1.1Sea un cuerpo bajo un sistema de fuerzas superficiales, donde en un punto del cuerpo, las componentes cartesianas de esfuerzos son , , , . Determine los esfuerzos normal y cortante sobre un plano cuya normal exterior tiene los cosenos directores.

, ,

1.2 Sea un cuerpo bajo un sistema de fuerzas superficiales, donde en un punto del cuerpo, las componentes cartesianas de esfuerzos son, , , , , . Determine los esfuerzos normal y cortante sobre un plano cuya normal exterior tiene los cosenos directores.

, ,

1.3 En un punto de un cuerpo que esta bajo un sistema de fuerzas, las componentes cartesianas de esfuerzos son , , , , , . Determine (a) los esfuerzos normal y cortante sobre un plano cuya normal exterior tiene los cosenos directores.

, ,Y (b) el ángulo entre y la normal exterior n.




1.3 Deformación y las relaciones esfuerzo – deformación

1.3.1 INTRODUCCIÓN

En la sección anterior el estado de esfuerzos el cual se desarrolla en un punto arbitrario dentro de un cuerpo como un resultado de las fuerzas superficiales fue analizado. Las relaciones obtenidas fueron basadas sobre la condición de equilibrio, sintomar en cuenta, asunciones relacionadas con las deformaciones de cuerpo o propiedades físicas del material del cuerpo, de aquí que los resultados sean válidos para cualquier tipo de material. En esta sección las deformaciones de un cuerpo serán analizadas. Las deformaciones serán consideradas como cantidades puramente geométricas, sin restricciones del material del cuerpo. Más adelante, con lafinalidad de obtener las ecuaciones que relacionan los desplazamientos y las deformaciones, las relaciones serán hechas en función de la posición de las deformaciones permitidas. Finalmente las propiedades del material serán consideradas.


1.3.2 Definiciones de desplazamiento y deformación de un cuerpo.

Considérese un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas , produciéndose un movimiento de...