delimitacion de problemas

Resumen
Este artículo trata sobre el problema de construir un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en sendas líneas rectas paralelas dadas. Se muestran varios métodos de resolución encontrados con el auxilio del programa computacional Cabri-Géomètre. Se sugiere la exploración de conjeturas verosímiles acerca de las construcciones utilizadas, además de plantear otros problemasrelacionados. Asimismo, se presenta la resolución de este problema utilizando geometría analítica y se plantean algunas preguntas para el análisis de las expresiones algebraicas obtenidas.

Introducción
Ocurre con frecuencia que un problema matemático pueda ser abordado, por quien intente resolverlo, bajo distintas maneras de representación: numérica, gráfica, algebraica y con una reelaboraciónverbal, entre otras. Si se elige una representación geométrica como punto de inicio para entender el problema y se sigue este camino para resolverlo, la precisión de los instrumentos que se usen, así como la de los trazos que se obtengan con ellos, desempeña un papel central en la exactitud de la solución.
La utilización de la geometría dinámica mediante las computadoras permite la deformación defiguras y el movimiento de ellas para generar soluciones de diferentes problemas. Este tipo de geometría se desarrolla en un ámbito constituido por píxeles. Por ello, se obtienen realmente soluciones aproximadas de determinado problema que se haya representado en tal ámbito.
En el ambiente de geometría dinámica proporcionado por el programa computacional Cabri-Géomètre se cuenta con herramientasgeométricas tales como cónicas, lugares geométricos, coordenadas rectangulares y polares, redefinición de objetos, etcétera. Además, Cabri-Géomètre complementa su interfase con macros para que el usuario pueda construir sus propios útiles de trabajo.
En este artículo se ilustra el uso de Cabri-Géomètre para auxiliar el avance del pensamiento en el conocimiento geométrico. Para ello, se presenta eltrabajo desarrollado en la resolución de un solo problema geométrico, el cual es el siguiente:

Trazar un triángulo equilátero cuyos tres vértices estén en sendas líneas rectas paralelas dadas. (Cf., Shively, 1961, p. 167; Eves, 1969, p. 187)

Construcciones geométricas
Es posible obtener un método de construcción general, para el problema central de este artículo, intentando resolverlo primeropara el caso particular en que la recta intermedia l2 es equidistante de las otras dos (véase figura 1). En este caso, el lado del triángulo equilátero debe medir exactamente lo mismo que la distancia OB que separa a las rectas extremas l1 y l3.
La circunferencia trazada con centro en un punto fijo P de la recta intermedia l2, y radio OB se interseca con las líneas l1 y l3 en R y Qrespectivamente. PQR es el triángulo equilátero pedido. Sea G el punto de intersección del lado QR del triángulo con la línea l2. El punto G es el punto medio del lado QR.
Si se modifica la distancia de separación de la recta intermedia l2 con respecto a las otras dos (véase figura 2), moviendo el punto fijo P en l2 sobre la perpendicular OB a las rectas paralelas dadas, el triángulo equilátero PQR setransformará en otro triángulo equilátero P’Q’R’ que cumple los requerimientos del problema. ¡Pero resulta que el punto medio del lado Q’R’ del nuevo triángulo equilátero sigue siendo el mismo punto G! A partir de estas observaciones, podemos enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA 1. Sean l1, l2 y l3 tres rectas paralelas dadas que se intersequen con una transversal en los puntos R, G y Qrespectivamente. Si G es el punto medio del segmento RQ de la transversal, comprendido entre las líneas extremas l1 y l3, entonces ocurre lo mismo para cualquier otra transversal; esto es, l1 y l3 son simétricas respecto de todo punto de l2. (Cf., Choquet, 1963, pp. 110 y 111)

Con la utilización de este punto fijo G, se plantea el siguiente método de resolución para el problema inicialmente planteado:...